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zslfw5222新虫 (小有名气)
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一个高等数学中空间解析几何的问题 已有7人参与
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问题是“当k取何值时，椭圆抛物面x^2+y^2/2=z与平面z=kx的交线是圆？” 把z=kx带入到椭圆抛物面x^2+y^2/2=z中，得到了一个椭圆柱面x^2+y^2/2=kx。 这样就变成讨论椭圆柱面x^2+y^2/2=kx与平面z=kx的交线是圆的问题。 这样做貌似进行不下去了。 若把x=z/k带入到椭圆抛物面x^2+y^2/2=z中，按照上面的思路貌似可做。 各位有没有什么好的思路解决这个问题呢？ |
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2楼2014-03-11 11:02:31
zslfw5222
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“k=+ - sqrt(2), 变为z^2 / 2 + y^2/2 = z，这就是圆柱面，投影到yoz面就是一个圆”在z=kx面上不是圆。 下面的结果也许好理解一些。 假设所求圆在某一球面(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=R^2上，而且直径相等。 显然，(x0,y0,z0)在z=kx上，(0,0,0)在球面上。 从而 (x-2x0)x+(y-2y0)y+(z-2z0)z=0 (1+k^2)(x-2x0)x+(y-2y0)y=0 考虑到图形的对称性（z=kx以及z=x^2+y^2/2关于yoz面对称），知y0=0。 当y=y0=0时，(1+k^2)(x-2x0)x=0，z=kx，z=x^2，所以x0=k/2，z0=k^2/2. 故球面方程为 (x-k)x+(z-k^2)z+y^2=0 所求圆方程同时满足 (x-k)x+(z-k^2)z+y^2=0 z=kx z=x^2+y^2/2 (1+k^2)(x-k)x+2(k-x)x=0恒成立 1+k^2=2 k=1,-1 |
7楼2014-03-12 10:16:13
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