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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 求教已知节点的函数值与导数值的积分方案
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ssj594ssj

铜虫 (初入文坛)

[求助] 求教已知节点的函数值与导数值的积分方案 已有1人参与

近日在考虑算法的过程中遇到一个有趣的困难，教材上的数值积分大多是基于已知计算节点的函数值猜测函数在给定区间上的积分结果，其代表就是Gauss积分了。但是如果不单知道函数在给定节点处的函数值，还知道其对应的导数值，相同节点数直觉上应该有更高的代数精度，但是具体如何利用节点的导数值小弟却没有想法，找了找数值积分的书好像也没有发现，希望可以与诸君一同思考一下。

            谢谢
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1楼 2014-02-19 21:41:13
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yongcailiu

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
ssj594ssj: 金币+5, ★有帮助, 嗯，金币就给了亲了吧，也没别人回orz 2014-02-21 15:40:30
可以使用Hermite插值方法进行插值，然后再对其进行积分
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2楼2014-02-20 08:00:03
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ssj594ssj

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by yongcailiu at 2014-02-20 08:00:03
可以使用Hermite插值方法进行插值，然后再对其进行积分

嗯，这个思路小弟也想过，但是具体来说如果N个节点有3N-1个代数精度的话插值出其他位置的函数值一方面不是不可以，另一方面插值到什么位置才合适小弟却不是很清楚
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3楼2014-02-20 16:21:45
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yongcailiu

金虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by ssj594ssj at 2014-02-20 16:21:45
嗯，这个思路小弟也想过，但是具体来说如果N个节点有3N-1个代数精度的话插值出其他位置的函数值一方面不是不可以，另一方面插值到什么位置才合适小弟却不是很清楚...

我能想到的方法是，你可以考虑类似三次样条插值的方法，构造出插值公式，然后再进行积分。具体的结果请参考三次样条插值。
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4楼2014-02-21 08:16:28
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ssj594ssj

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by yongcailiu at 2014-02-21 08:16:28
我能想到的方法是，你可以考虑类似三次样条插值的方法，构造出插值公式，然后再进行积分。具体的结果请参考三次样条插值。...

嗯，从插值多项式出发构造积分格式的确是常见的思路。节点位置固定的情况下（也就是Simpson积分）这个思路小弟认为是最简单的，但是如果是为了追求高代数精度的话，节点位置也要相应优化，这里不知为何遇到了很大的困难，如果直接假设每个节点的位置，函数值的权与导数值的权三个未知数并求解方程组的话意外地没有实数解，然后就跪了orz
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5楼2014-02-21 15:39:11
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yongcailiu

金虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by ssj594ssj at 2014-02-21 15:39:11
嗯，从插值多项式出发构造积分格式的确是常见的思路。节点位置固定的情况下（也就是Simpson积分）这个思路小弟认为是最简单的，但是如果是为了追求高代数精度的话，节点位置也要相应优化，这里不知为何遇到了很大的 ...

http://en.wikipedia.org/wiki/Chebfun 你了解一下网址中给的软件，以前听人说过，应该挺好用的，希望对你有帮助
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6楼2014-02-22 08:24:06
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