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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求解一道复变教材中的题目，感觉拓扑的味道很重
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ilokb

银虫 (初入文坛)

[求助] 求解一道复变教材中的题目，感觉拓扑的味道很重

用的是亨利嘉当的 解析函数论初步。不知道大家有没有用过那本教材，
在讲到单连通开集的时候，他给出了4个等价。可是没有给出证明，我就有点搞不懂了。单连通开集的定义是可缩，任何一条闭道路与这个区域上某一点同伦。
等价是这样给出的：1.区域是单连通开集。2.区域内任何有相同端点的两条道路同伦。3.定义在半径为1的复平面上的一个连续函数f，像集在该区域内，则可以把f开拓成以1为半径的圆盘上的连续函数。还有一个等价和3类似，不过是用的正方形和正方形内部。
对于这个连续函数的开拓就不是很明白，个人读这本教材晕晕的。
真心求助，谢谢大家。悬赏不多，如有帮助等金币多了必有重谢
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1楼 2014-02-19 01:59:33
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jabile

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
ilokb: 金币+5, ★★★★★最佳答案, 可以再详细解释一下吗？ 2014-02-19 10:12:45
ilokb: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2014-02-19 11:32:57
ilokb: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2014-02-21 11:52:33
这个直接利用同伦的定义就可以了，
将圆周分为上下两半C_1,C_2，
f将其映射为D中端点相同的道路P_1,P_2，
由单连通性，P_1,P_2之间存在保持端点不动的相对同伦
F：[0.1]\times [0,1]\rightarrow  D
由于保持端点不动，F可视为正方形[0,1]\times [0,1]将左右两条边
分别缩成一点得到的空间到D的连续映射，而这个空间和圆是同胚的
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2楼2014-02-19 07:54:35
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ilokb

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by jabile at 2014-02-19 07:54:35
这个直接利用同伦的定义就可以了，
将圆周分为上下两半C_1,C_2，
f将其映射为D中端点相同的道路P_1,P_2，
由单连通性，P_1,P_2之间存在保持端点不动的相对同伦
F：\times \rightarrow  D
由于保持端点不动，F可 ...

谢谢你的回帖，不过我还是不太明白，可以解释详细一点吗？ 保持端点的相对同伦是什么意思？
那从圆环到圆盘的开拓是如何做到的？刚接触这个不太熟悉。
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3楼2014-02-19 08:00:19
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by ilokb at 2014-02-19 08:00:19
谢谢你的回帖，不过我还是不太明白，可以解释详细一点吗？ 保持端点的相对同伦是什么意思？
那从圆环到圆盘的开拓是如何做到的？刚接触这个不太熟悉。...

最好看一下代数拓扑的教材，F:[0,1]\times X\rightarrow Y是连续映射，F(0,x)=f(x),F(1,x)=g(x)，就称为f,g之间的同伦；
若A是X的子集，F(t,x)关于t是常函数，就称为关于A的相对同伦，
上面的问题里，X=[0,1]，A就是两个端点{0,1}
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4楼2014-02-19 10:39:46
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ilokb

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by jabile at 2014-02-19 10:39:46
最好看一下代数拓扑的教材，F:\times X\rightarrow Y是连续映射，F(0,x)=f(x),F(1,x)=g(x)，就称为f,g之间的同伦；
若A是X的子集，F(t,x)关于t是常函数，就称为关于A的相对同伦，
上面的问题里，X=，A就是两个端 ...

恩，同伦的概念比较清楚。这本书中对于同伦限制了必须对端点相对同伦。
可是您能解释下函数开拓问题吗？不知道怎么做好。
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5楼2014-02-19 11:03:11
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by ilokb at 2014-02-19 11:03:11
恩，同伦的概念比较清楚。这本书中对于同伦限制了必须对端点相对同伦。
可是您能解释下函数开拓问题吗？不知道怎么做好。...

这个同伦映射就是函数的延拓啊
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6楼2014-02-19 11:05:08
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ilokb

银虫 (初入文坛)
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6楼: Originally posted by jabile at 2014-02-19 11:05:08
这个同伦映射就是函数的延拓啊...

哦大概明白了。可是这个要先证出命题2吧，必须先有  单连通开集内任何两条端点相同的道路同伦才可以定义这个延拓吧？
怎么证明这个等价关系呢？
您可以再推荐一些书目吗？之前没学过拓扑
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7楼2014-02-19 11:18:22
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jabile

木虫 (正式写手)
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7楼: Originally posted by ilokb at 2014-02-19 11:18:22
哦大概明白了。可是这个要先证出命题2吧，必须先有  单连通开集内任何两条端点相同的道路同伦才可以定义这个延拓吧？
怎么证明这个等价关系呢？
您可以再推荐一些书目吗？之前没学过拓扑...

这个同伦映射是函数的延拓；反过来，如果存在一个延拓，这个延拓也就是要找的同伦映射
代数拓扑的教材都可以，比如M Armstrong 《Basic Topology》， J. R. Murkres，《Topology》，都有中文译本
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8楼2014-02-19 12:28:06
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ilokb

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
8楼: Originally posted by jabile at 2014-02-19 12:28:06
这个同伦映射是函数的延拓；反过来，如果存在一个延拓，这个延拓也就是要找的同伦映射
代数拓扑的教材都可以，比如M Armstrong 《Basic Topology》， J. R. Murkres，《Topology》，都有中文译本...

恩，这个映射我大概明白了。可是这样定义映射不得先满足性质2吗？区域内任何有相同端点的两条道路同伦。这个是怎么证明的？我想把这两条道路看成闭道路然后同伦到一个点，可这样就不知道怎么构造原来那两条道路的关系了。
先谢谢你了
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9楼2014-02-19 12:33:15
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jabile

木虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by ilokb at 2014-02-19 12:33:15
恩，这个映射我大概明白了。可是这样定义映射不得先满足性质2吗？区域内任何有相同端点的两条道路同伦。这个是怎么证明的？我想把这两条道路看成闭道路然后同伦到一个点，可这样就不知道怎么构造原来那两条道路的关 ...

其实画个图比较直观些，但是我不会画
考虑同端点的道路f,g，g'是g的逆
f-g'相连构成环路，和单点同伦，记映射为F(t,s)
F(0,s)为f-g'，F(1,s)为单点映射，注意到这个映射在正方形
的三条边上为常数，将这三条边粘合为一个点，就得到f,g的相对同伦了
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10楼2014-02-19 13:32:35
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