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lixy1217

木虫 (著名写手)

[交流] 谱方法中多项式求根的问题

基于多项式（Legendre、Hermite等）的谱方法求解偏微分方程，难免要涉及到对多项式求根的问题

我用32位计算机C++编程计算，采用通常的方法来求Hermite多项式，超过70次以后，多项式的拟合就已经失真了。而用二分法对Hermite多项式求根，超过40次就解不出了，如果用QR算法那效果更差。舍入误差在多项式中体现得淋漓尽致。

但是我想，求解一个偏微分方程，100个以上的基函数也不算多吧？虽然不要求能够像Fourier基函数那么好的稳定性。可总应该有什么好的算法能够有效模拟100次以上的带权高斯多项式并对其求根，在此请高人指点指点。如果说是要换计算机那就免了。
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1楼 2013-12-31 12:02:24
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cool_smile

木虫 (著名写手)
★ ★ ★
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lixy1217: 金币+2, 欢迎交流 2013-12-31 19:37:49
方法一、可以利用特征值方法求正交多项式的零点。譬如：N次Hermite多项式的零点恰好就是一个三对角（对称）矩阵的特征值。
方法二、利用迭代法求根，关键是初值的选取。初值怎么选取可以参考文献 Pan V. (1997, 39(2), SIAM Review)
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2楼2013-12-31 19:09:43
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lixy1217

木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by cool_smile at 2013-12-31 19:09:43
方法一、可以利用特征值方法求正交多项式的零点。譬如：N次Hermite多项式的零点恰好就是一个三对角（对称）矩阵的特征值。
方法二、利用迭代法求根，关键是初值的选取。初值怎么选取可以参考文献 Pan V. (1997, 39 ...

不知道你试着算过没有。其实求多项式的根本身不是太难，可是次数一旦高起来，舍入误差的影响将会非常大。一个70次的Hermite多项式，它的系数在数量级上差别能达到10的40次方。而且x的70次方，就算是一点小小的扰动，带来的差别也是巨大的。用32位计算机操作，不说求根，如何来把这个多项式表示出来，都是个问题。
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3楼2013-12-31 19:47:42
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cool_smile

木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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feixiaolin: 金币+3 2013-12-31 22:37:10
lixy1217: 金币+5 2014-01-01 19:58:05
引用回帖:
3楼: Originally posted by lixy1217 at 2013-12-31 19:47:42
不知道你试着算过没有。其实求多项式的根本身不是太难，可是次数一旦高起来，舍入误差的影响将会非常大。一个70次的Hermite多项式，它的系数在数量级上差别能达到10的40次方。而且x的70次方，就算是一点小小的扰动 ...

此言差矣，在实际的数值计算过程中，一般都不需要把多项式直接表示出来（否则就会导致你所说的舍入误差积累），如果是正交多项式，一可以利用递推公式去计算n次正交多项式的函数值或者导数值。

我可以提供matlab子程序给你，用于计算Hermite求积节点和权, 当多项式次数很高时（n>100），你可以检验下，计算结果非常精确。代码见附件。
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4楼2013-12-31 21:22:11
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lixy1217

木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by cool_smile at 2013-12-31 21:22:11
此言差矣，在实际的数值计算过程中，一般都不需要把多项式直接表示出来（否则就会导致你所说的舍入误差积累），如果是正交多项式，一可以利用递推公式去计算n次正交多项式的函数值或者导数值。

我可以提供matla ...

听你这么一说，好像有点意思~~看来直观上先得到系数在研究多项式的方式在这里是不适用了。
不禁追问一下，三对角对称矩阵表示Hermite多项式的根，这是个什么三对角矩阵？迭代法求根，是常用的牛顿迭代吗？如果这么说来，更简单的二分法是否也会适用，因为我只需要知道实根？
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5楼2013-12-31 22:35:07
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lixy1217

木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by cool_smile at 2013-12-31 21:22:11
此言差矣，在实际的数值计算过程中，一般都不需要把多项式直接表示出来（否则就会导致你所说的舍入误差积累），如果是正交多项式，一可以利用递推公式去计算n次正交多项式的函数值或者导数值。

我可以提供matla ...

果然不应该求多项式系数，而应该使用Hermite基函数（不是Hermite多项式）迭代公式直接逐点表示。用最原始野蛮的二分法，可以求到750阶以内的Hermite基函数的根。但是对于更高阶的多项式，由于根的范围突破了38.5这个坎，意味着exp(-0.5*x*x)会低于C程序数据范围的下限，从而直接等于0，也就无法求根了。
不知道这时候有什么好的处理办法（呵呵，我这个人有点贪心）
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6楼2014-01-01 20:04:20
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