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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 300米篱笆围直角梯形菜地问题
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410218380

铁虫 (初入文坛)

[求助] 300米篱笆围直角梯形菜地问题

用300米长篱笆能否在水渠的一侧围成一块面积为1公顷以上的直角梯形菜地.
如果能，请说明方案，计算出面积，并在下面画出所围成的直角梯形；如果不能计算，请解释说明
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谋事在人，成事在天，不懈的努力，辉煌的人生
1楼 2013-12-01 22:33:03
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

liuqh

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★
410218380(feixiaolin代发): 金币+5 2013-12-02 16:29:37
引用回帖:
11楼: Originally posted by liuqh at 2013-12-02 15:53:43
斜边靠河，直角边为150，可得最大面积22500，附图中的蓝色部分，绿色部分为参考，两个一起组成一个正方形

附上图片
300米篱笆围直角梯形菜地问题
0.png
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12楼2013-12-02 15:56:57
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普通回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+1, 奖励应助。 2013-12-02 08:39:50
不但可以围出1公顷（10000m^2),还可以在稍多些。直角梯形由一个矩形和直角三角形组成。将矩形和三角形两者共一条边的那个梯形的边放到河岸上。将矩形部分与三角形共一条高度的边长设为a,另一条边设为b，剩下的直角三角形部分的斜边长为c,其与河岸的夹角为θ。则:
        a+b+c=300                                                                   (1)
     直角梯形的面积S=a*b+1/2*c*cosθ*c*sinθ
                            =a*b+1/4*(300-a-b)^2*sin(2*θ）
    对a、b、θ分别求偏导数并令之为零：
     b-(300-a-b)/2*Sin(2*θ)=0                                                (2)
        a-(300-a-b)/2*Sin(2*θ)=0                                              (3)
        Cos(2*θ)=0                                                                    (4)
   解之，θ=π/4 ,故Sin(2*θ)=1
      （2）-（3） 得：a=b                                                        (5)
        代入（3）  ：a=75   代入（5）  b=75
  将a、b、θ代入面积S的表达式：
      S=75*75+1/4*150^2=11250 m^2＞10000m^2
完毕。
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2楼2013-12-01 23:52:26
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2013-12-01 23:52:26
不但可以围出1公顷（10000m^2),还可以在稍多些。直角梯形由一个矩形和直角三角形组成。将矩形和三角形两者共一条边的那个梯形的边放到河岸上。将矩形部分与三角形共一条高度的边长设为a,另一条边设为b，剩下的直角三 ...

就是将直角梯形的下底放在河岸上。
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3楼2013-12-02 02:15:12
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

补充说明：就是将直角梯形的下底放在河岸上。
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4楼2013-12-02 02:17:15
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pietyknight

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2013-12-01 23:52:26
不但可以围出1公顷（10000m^2),还可以在稍多些。直角梯形由一个矩形和直角三角形组成。将矩形和三角形两者共一条边的那个梯形的边放到河岸上。将矩形部分与三角形共一条高度的边长设为a,另一条边设为b，剩下的直角三 ...

你的结果有问题，三边加起来，不是300。

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5楼2013-12-02 10:18:21
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
5楼: Originally posted by pietyknight at 2013-12-02 10:18:21
你的结果有问题，三边加起来，不是300。
...

怎么不是300米呢？直角梯形的高75米，直角梯形的上底75米，斜边长150米，共300米。下底放在河岸上，不计算在内的。
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6楼2013-12-02 11:34:23
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by pietyknight at 2013-12-02 10:18:21
你的结果有问题，三边加起来，不是300。
...

因为本人年纪大了，电脑水平差，不会电脑绘图，故再说明一下。就是直角梯形的下底放在河岸上，不扎篱笆，因此不计入总长。直角梯形的高为a、上底为b、梯形的斜边长为c、斜边与河岸的夹角为θ。则所围面积S:
S=a*b+1/2*c*sinθ*c*cosθ=a*b+1/4*c^2*sin(2*θ)
a+b+c=300
根据上两式求S的极大值，相信楼上会算得清楚的。
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7楼2013-12-02 11:49:49
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
5楼: Originally posted by pietyknight at 2013-12-02 10:18:21
你的结果有问题，三边加起来，不是300。
...

楼上的算清楚了吗？快点回话。
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8楼2013-12-02 12:10:22
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410218380

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
8楼: Originally posted by peterflyer at 2013-12-02 12:10:22
楼上的算清楚了吗？快点回话。...

多谢解答！不过还是有点想不明白，如果θ=45°的话，那直角三角形就是等腰直角三角形，一直角边是75，那斜边应该是根号2倍的75，为什么是150呢？
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谋事在人，成事在天，不懈的努力，辉煌的人生
9楼2013-12-02 14:32:09
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
9楼: Originally posted by 410218380 at 2013-12-02 14:32:09
多谢解答！不过还是有点想不明白，如果θ=45°的话，那直角三角形就是等腰直角三角形，一直角边是75，那斜边应该是根号2倍的75，为什么是150呢？...

可能哪里有错误，容我检查一下。
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10楼2013-12-02 14:58:58
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