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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 求抛物线的表面积，谢谢
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douhaosuda

木虫 (正式写手)

[求助] 求抛物线的表面积，谢谢

各位大神，我的数学很差，想麻烦高手求解一下这个抛物线绕着y轴旋转一周（180度也行）所组成的曲面的表面积，有点类似于半球的表面积，但不是，也不用计算底面积，谢谢了~公式我打不出来，就在附件里，还有一张简单的图片，谢谢了
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  • 附件 1 : 求教.doc
    • 2013-11-29 10:35:03, 54.5 K

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新手初来咋到，大侠们多多指教哈
1楼 2013-11-29 10:35:45
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
求解过程：
y=-n/r*x^2+n*r ，则 y'=-2*n/r*x ,设曲线弧长为L,曲面面积为S，则有：
S=Integral{dL*2*π*x,0,r}
  =Integral{sqrt{1+4*n^2/r^2*x^2}*2*π*x*dx,0,r}
  =π*[sqrt(1+4*n^2)-1]/[2*n^2]*r^2

完毕。
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3楼2013-11-29 13:35:31
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
4楼: Originally posted by douhaosuda at 2013-11-30 08:59:06
你好，由于我的愚笨，我没有怎么看懂~但是我觉得当n=1时，面积应该是2*pi*r^2,不知道大神觉得呢？还有为什么除号前面的n和后面的n^2不进行消除呢？非常感谢你...

前面是π，即3.1415926......,不是n。另外，积分积错了，应更正为：π*{sqrt(1+4*n^2)]^3-1]}[6*n^2]*r^2   。当n=1时，S=1.697*π*r^2
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6楼2013-11-30 09:26:18
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

作此题的思路是：截取一段曲线微元dL, 则该微元绕y轴旋转一圈的面积为：dS=dL*2*π*x=sqrt{1+[y']^2}*dx*2*π*x=2*π*x*sqrt{1+4*n^2/r^2}*dx
然后对dS从0到r求定积分即可。
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8楼2013-11-30 09:37:36
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
抱歉，前帖少了个除号/，结果应为：
    S=π*{sqrt(1+4*n^2)]^3-1]}/[6*n^2]*r^2
当n=1,
       S=[5*sqrt(5)-1]/6*π*r^2
         ≈1.697*π*r^2
  只有当曲线为x^2+y^2=r^2时，结果才为2*π*r^2 。
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9楼2013-11-30 09:47:40
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
douhaosuda: 金币+10, ★★★很有帮助 2013-11-30 21:24:54
引用回帖:
11楼: Originally posted by douhaosuda at 2013-11-30 19:51:46
非常感谢，还有我不知道是否金币给你了~我是新手，多多关照...

到目前为止，尚未收到金币。
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13楼2013-11-30 20:05:51
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
14楼: Originally posted by douhaosuda at 2013-11-30 21:25:16
收到了吗？...

好，刚刚收到楼主发来的10个金币。
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15楼2013-11-30 22:48:02
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
16楼: Originally posted by douhaosuda at 2013-12-02 19:52:39
你好，我还想请教一下，既然是绕y旋转，为什么是从dL到dx，而不是到dy呢？谢谢...

在高等数学里我们不是已经推导出曲线长度微元与坐标微元的关系：dL=sqrt[(dx)^2+(dy)^2]=sqrt[1+(dy/dx)^2]*dx 。
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17楼2013-12-02 19:57:40
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

若是计算绕x轴旋转的曲面面积，则曲面面积微元为：
      dS=dL*2*π*y=2*π*[-n/r*x^2+n*r]*sqrt{1+(-2*n*x/r)^2*^2}*dx
       注意在求积微元表达式中，只是将原来的x换成y，其余不变。仔细体会一下。
       故：
        S=Integral{dS,-r ,r}=2*Integral{dS , 0 , r}=......
       上市是借助偶函数的性质化简积分区间。这些积分也不难，很容易积出来。
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18楼2013-12-02 20:12:56
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