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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 运筹学与控制论 » 用n个1×2的小矩形铺成一个2×n的大矩形，有多少种铺法！
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felix2018

铁杆木虫 (正式写手)

[求助] 用n个1×2的小矩形铺成一个2×n的大矩形，有多少种铺法！

组合数学的知识可解，差分方程也可解，烦请大神们帮帮忙！
另有一题为，u(x,y)是任意局部有限偏序集上的mobius函数，试证，u(x,y)的值必为整数！谢谢了！

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世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人！
1楼 2013-11-12 17:34:02
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
根据你的提示, 有了一些想法.

(1). 考虑第一块小矩形. 如果是竖着(2X1)的, 那么有 P(n-1)种铺法;
如果是横着(1X2)的, 那么第二块必须也是横着的, 因此有 P(n-2)种铺法;
所以:  P(n)= P(n-1) + P(n-2), 显然 P(1)=1, P(2)=2. 跟Fibonacci 数列关系暧昧.

(2). 我只对偏序集是有限集合的情况有思路, 对无穷集合, No idea.

考虑Mobius函数形成的矩阵A, 它的逆矩阵B是个下三角矩阵(适当排序后),  
B_( x, y) = 1 if x>=y, 0 if otherwise.
整数矩阵B 对角线上全是1, 所以行列式为1. 所以它的逆矩阵等于它的伴随矩阵, 也是整数矩阵.
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We_must_know. We_will_know.
2楼2013-11-13 03:51:10
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felix2018

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2013-11-13 03:51:10
根据你的提示, 有了一些想法.

(1). 考虑第一块小矩形. 如果是竖着(2X1)的, 那么有 P(n-1)种铺法;
如果是横着(1X2)的, 那么第二块必须也是横着的, 因此有 P(n-2)种铺法;
所以:  P(n)= P(n-1) + P(n-2), 显然 P ...

谢谢你的想法！
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世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人！
3楼2013-11-13 12:08:52
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zywang1999

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
felix2018: 金币+1, ★有帮助 2013-11-14 11:02:39
共有s种排列方法
(1)n=2k, s = C(k,0) + C(k+1,2) + C(k+2,4)+...+C(2k,2k);
(2)n=2k+1, s=C(k+1,1) + C(k+2,3) + C(k+3,5)+...+C(2k+1,2k+1);
例如,n=5时共有8种摆放方法; n=6时共有13种.
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我是这么深爱你啊，我的中国
4楼2013-11-14 00:29:41
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felix2018

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by zywang1999 at 2013-11-14 00:29:41
共有s种排列方法
(1)n=2k, s = C(k,0) + C(k+1,2) + C(k+2,4)+...+C(2k,2k);
(2)n=2k+1, s=C(k+1,1) + C(k+2,3) + C(k+3,5)+...+C(2k+1,2k+1);
例如,n=5时共有8种摆放方法; n=6时共有13种.

谢谢你，第二个题大神可否也给解一下！
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世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人！
5楼2013-11-14 10:51:10
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zywang1999

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

(2)u(x,y)是任意局部有限偏序集上的mobius函数，试证，u(x,y)的值必为整数！
没有学过, 不会
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我是这么深爱你啊，我的中国
6楼2013-11-14 18:06:47
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felix2018

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by zywang1999 at 2013-11-14 18:06:47
(2)u(x,y)是任意局部有限偏序集上的mobius函数，试证，u(x,y)的值必为整数！
没有学过, 不会

好的，这个是组合数学里面的内容！

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世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人！
7楼2013-11-14 23:20:03
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by felix2018 at 2013-11-14 23:20:03
好的，这个是组合数学里面的内容！
...

我想了一下, 好象很显然.

任给 x, y,  (x <=y), 只有有限个z 满足 x<=z<=y.
根据Mobius 函数的定义,
(1) Mu(x,x)=1.
(2) Sum_{z: x<=z<=y} Mu(x, z)* Mu(z,y) =0.

因此, Mu(x,y) = - Sum_{z: x<=z <y} Mu(x, z)* Mu(z,y).
然后对从x 到 y 的链(Chain)的长度做归纳.
链(x, z)和链(z,y)的长度都严格小于链(x,y)的长度, 它们的Mu值都是整数, 因此 Mu(x,y)还是整数.
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We_must_know. We_will_know.
8楼2013-11-15 02:22:13
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felix2018

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2013-11-15 02:22:13
我想了一下, 好象很显然.

任给 x, y,  (x <=y), 只有有限个z 满足 x<=z<=y.
根据Mobius 函数的定义,
(1) Mu(x,x)=1.
(2) Sum_{z: x<=z<=y} Mu(x, z)* Mu(z,y) =0.

因此, Mu(x,y) = - Su ...

不错的想法，不过还是有点概括！

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世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人！
9楼2013-11-15 15:29:26
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