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bfamq

铁杆木虫 (著名写手)

[求助] 请教一个无穷级数极限的问题!

在考虑一个无穷级数收敛半径的问题中,得到收敛半径R=lim(1+1/k)^k,在k趋于无穷时,R=自然对数e。这是为什么呢?怎么算出来的?
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

lim(1+1/k)^k=e,在k趋于无穷时,是一个常用极限。
凡事,一笑而过。。。。。。
7楼2014-08-14 10:16:59
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askuyue

铁杆木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
bfamq: 金币+3, 有帮助, 我就是不会这个极限怎么算,希望能提供过程。感谢 2013-11-06 13:48:48
bfamq: 金币+7, ★★★很有帮助 2013-11-06 19:32:40
请查看参考书,一般的过程是这样的:
(1)首先证明上述式子是收敛的;
(2)之后,利用求极限的几个技巧——两边逼近法,便是可以大致估计其数值的;
(3)验证结果的正确性。
HEHE
2楼2013-11-06 13:43:39
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charles-wy

铁杆木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
bfamq: 金币+7, ★★★很有帮助, 好吧,我去找找,谢谢了 2013-11-06 16:08:07
bfamq: 金币+3, ★★★很有帮助 2013-11-06 19:33:28
这个极限是e的定义式之一

也就是说如果你承认那个式子的确有个极限,那这个极限就定义为e

怎么证明它有个极限应该是在不少数学分析的书上刚开头就有
3楼2013-11-06 14:59:33
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askuyue

铁杆木虫 (著名写手)

bfamq: 回帖置顶 2013-11-06 23:13:22
首先利用二项式展开:
(1+1/n)^n;
其次,对上述展开式进行截取一段,则有
2.5-1/2n<(1+1/n)^n<8/3-1/n+12/3n^2;
所以对上述不等式两边去n趋向于正无穷;则得到:
2.5<lim(1+1/n)^n<8/3;
所以极限存在的。
而我们定义这个极限是
e的,就这么多。
HEHE
4楼2013-11-06 19:58:16
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