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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教一个无穷级数极限的问题！
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bfamq

铁杆木虫 (著名写手)

[求助] 请教一个无穷级数极限的问题！

在考虑一个无穷级数收敛半径的问题中，得到收敛半径R=lim（1+1/k）^k，在k趋于无穷时，R=自然对数e。这是为什么呢？怎么算出来的？
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1楼 2013-11-06 13:24:50
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askuyue

铁杆木虫 (著名写手)
bfamq: 回帖置顶 2013-11-06 23:13:22
首先利用二项式展开：
（1+1/n）^n;
其次，对上述展开式进行截取一段，则有
2.5-1/2n<(1+1/n)^n<8/3-1/n+12/3n^2;
所以对上述不等式两边去n趋向于正无穷；则得到：
2.5<lim(1+1/n)^n<8/3;
所以极限存在的。
而我们定义这个极限是
e的，就这么多。
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HEHE
4楼2013-11-06 19:58:16
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askuyue

铁杆木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
bfamq: 金币+3, ★有帮助, 我就是不会这个极限怎么算，希望能提供过程。感谢 2013-11-06 13:48:48
bfamq: 金币+7, ★★★很有帮助 2013-11-06 19:32:40
请查看参考书，一般的过程是这样的：
（1）首先证明上述式子是收敛的；
（2）之后，利用求极限的几个技巧——两边逼近法，便是可以大致估计其数值的；
（3）验证结果的正确性。
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HEHE
2楼2013-11-06 13:43:39
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charles-wy

铁杆木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
bfamq: 金币+7, ★★★很有帮助, 好吧，我去找找，谢谢了 2013-11-06 16:08:07
bfamq: 金币+3, ★★★很有帮助 2013-11-06 19:33:28
这个极限是e的定义式之一

也就是说如果你承认那个式子的确有个极限，那这个极限就定义为e

怎么证明它有个极限应该是在不少数学分析的书上刚开头就有
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3楼2013-11-06 14:59:33
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bfamq

铁杆木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by askuyue at 2013-11-06 19:58:16
首先利用二项式展开：
（1+1/n）^n;
其次，对上述展开式进行截取一段，则有
2.5-1/2n<(1+1/n)^n<8/3-1/n+12/3n^2;
所以对上述不等式两边去n趋向于正无穷；则得到：
2.5<lim(1+1/n)^n<8/3;
所以极 ...

灰常感谢

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5楼2013-11-06 20:09:15
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