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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 两道证群不同构的题，求解啊！
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谁负韶华

新虫 (小有名气)

[求助] 两道证群不同构的题，求解啊！

1.Prove that An×Z2 is not isomorphic to Sn when n≥3.
2.Show that SOn×Z2 is not isomorphic to On when n is even.
最近看近代，表示这一类证明不同构的题不怎么会啊！求指导，最好是英文版的解答！多谢了！

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1楼 2013-08-18 23:02:26
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zenmebuxing

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
感觉你这个结论有问题啊；
第一题 两个好像是同构的啊；
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2楼2013-08-18 23:43:39
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
谁负韶华: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2013-09-24 20:31:42
you may use the information of center group to prove the first.

It is known that Sn only has trivial center (when n>=3), this you can see from the conjugation action on the generating set (1k) k=2,...,n.
(1k)^phi = (1^phi k^phi).

but An X Z2 has nontrivial center, at least Z2 is in the center. (when n=3, the whole group is abelian). So no isomorphism.

O_n (when n is even) has center I and -I. (you need to prove this, though I cannot come up a simple proof). but both these two elements belong to SOn. Therefore if On is isomorphic to SOn X Z2, then its center is at least (I, -I) X Z2, has four elements. which is not true.
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谁负韶华
We_must_know. We_will_know.
3楼2013-08-19 00:32:47
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谁负韶华

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by zenmebuxing at 2013-08-18 23:43:39
感觉你这个结论有问题啊；
第一题 两个好像是同构的啊；

不，第一题不同构的。

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4楼2013-08-19 11:54:07
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谁负韶华

新虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2013-08-19 00:32:47
you may use the information of center group to prove the first.

It is known that Sn only has trivial center (when n>=3), this you can see from the conjugation action on the generating set (1k) ...

第一题我能用 identity element 来证明么？推出两群间的映射不是injective？

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5楼2013-08-19 12:03:28
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 谁负韶华 at 2013-08-19 12:03:28
第一题我能用 identity element 来证明么？推出两群间的映射不是injective？
...

我个人觉得十有八九不可以的， 虽然你可以试着把证明写出来让大家参考。

一般证明不同构，需要找一些不变量，二者不一样。比如，我找的是中心群的大小。
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We_must_know. We_will_know.
6楼2013-08-19 12:13:04
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谁负韶华

新虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by hank612 at 2013-08-19 12:13:04
我个人觉得十有八九不可以的， 虽然你可以试着把证明写出来让大家参考。

一般证明不同构，需要找一些不变量，二者不一样。比如，我找的是中心群的大小。...

假设φ是两群间的映射，（ε，1）是An×Z2的单位元则φ（（ε，1））=ε。那么φ（（ε，1）（ε，1））=φ（（ε，0））=φ（ε，1）φ（ε，1）=ε.ε=ε。即φ（ε，1）=φ（ε，0）=ε，矛盾。这样行么？

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7楼2013-08-19 13:25:28
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 谁负韶华 at 2013-08-19 13:25:28
假设φ是两群间的映射，（ε，1）是An×Z2的单位元则φ（（ε，1））=ε。那么φ（（ε，1）（ε，1））=φ（（ε，0））=φ（ε，1）φ（ε，1）=ε.ε=ε。即φ（ε，1）=φ（ε，0）=ε，矛盾。这样行么？
...

你的符号说明不够清晰，把自己绕进去了。
Z2 中， 如果 1是单位元，那么（ε，1）（ε，1）还是（ε，1）， 哪来的
（ε，0）？
不过通常大家把Z2 当作加法群 0+0=1+1=0, 1+0=0+1=1.
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We_must_know. We_will_know.
8楼2013-08-19 23:15:03
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谁负韶华

新虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by hank612 at 2013-08-19 23:15:03
你的符号说明不够清晰，把自己绕进去了。
Z2 中， 如果 1是单位元，那么（ε，1）（ε，1）还是（ε，1）， 哪来的
（ε，0）？
不过通常大家把Z2 当作加法群 0+0=1+1=0, 1+0=0+1=1....

哦哦，原来这样啊。懂了。谢了哈

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9楼2013-08-20 19:29:27
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