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两道证群不同构的题，求解啊！
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1.Prove that An×Z2 is not isomorphic to Sn when n≥3. 2.Show that SOn×Z2 is not isomorphic to On when n is even. 最近看近代，表示这一类证明不同构的题不怎么会啊！求指导，最好是英文版的解答！多谢了！ [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] |
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5楼2013-08-19 12:03:28
zenmebuxing
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【答案】应助回帖
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谁负韶华: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2013-09-24 20:31:42
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you may use the information of center group to prove the first. It is known that Sn only has trivial center (when n>=3), this you can see from the conjugation action on the generating set (1k) k=2,...,n. (1k)^phi = (1^phi k^phi). but An X Z2 has nontrivial center, at least Z2 is in the center. (when n=3, the whole group is abelian). So no isomorphism. O_n (when n is even) has center I and -I. (you need to prove this, though I cannot come up a simple proof). but both these two elements belong to SOn. Therefore if On is isomorphic to SOn X Z2, then its center is at least (I, -I) X Z2, has four elements. which is not true. |
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3楼2013-08-19 00:32:47
4楼2013-08-19 11:54:07
