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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于测度的问题
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General6318

新虫 (初入文坛)

[求助] 关于测度的问题

设A是平面上的零测集，能否在平面上存在一条直线L, 使得A与L的交集是直线L上的零测集？
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1楼 2013-08-11 14:38:43
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人民海军

木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
假设平面上的零測集刚好就是直线L，然后呢

[ 发自小木虫客户端 ]
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Letbygonesbebygones.
2楼2013-08-11 15:17:17
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General6318

新虫 (初入文坛)
可以找另外一根直线，只要存在就行
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3楼2013-08-11 15:47:28
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
零测集的子集都是零测集。所以随便找的直线都成立。
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We_must_know. We_will_know.
4楼2013-08-12 02:29:32
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General6318

新虫 (初入文坛)
相交后的集合按照一维空间来计算测度
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5楼2013-08-12 08:18:01
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xxka

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
零測集的子集都是零測集，因此，任意与A集相交的直线L都满足条件。
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6楼2013-08-12 09:02:17
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by General6318 at 2013-08-12 08:18:01
相交后的集合按照一维空间来计算测度

哦，我想当然了。

那我们用Fubini定理好了。
考虑A 交S=RX[0，1]。它同样是零测集。
Int_{S} Chi(A) dxdy=0,
所以分拆成
Int_{y=0^1} Chi( A 交 直线 l=y) dy =0.
所以 A 交 直线 l=y 几乎处处为零测集。
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We_must_know. We_will_know.
7楼2013-08-12 09:23:06
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