[求助] 求解数列求和

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天行健，君子以自强不息

1楼2013-07-17 11:25:42

hank612

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【答案】应助回帖

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2楼: Originally posted by hank612 at 2013-07-18 00:14:39
搬个凳子来,看看大牛如何解决这个我觉得超难的题目.

这个级数相当于对复平面上所有整点m+ni求和 sum_z exp(-a* |z|).

如果不要求Closed Form,可以求数值解,用软件对具体的a.

如果你只想要定性的结果,可以参考求和转换为积分.

首先,把m n求和从零到无穷大改为从负无穷大到无穷大, 自己算出它们的关系.

其次,积分对全平面, 积分函数为 exp(-a* sqrt(x^2+y^2) ) dx dy,
转为极坐标 dx dy = r dr d theta. 对theta积分得到 2 pi, 对 r 积分为
r*exp(-ar) dr 从零到无穷大, 得到 a^{-2}. 因此整个积分为 2 pi / a^2.

仅供参考.

We_must_know. We_will_know.

3楼2013-07-18 00:58:55

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hank612

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搬个凳子来,看看大牛如何解决这个我觉得超难的题目.

这个级数相当于对复平面上所有整点m+ni求和 sum_z exp(-a* |z|).

如果不要求Closed Form,可以求数值解,用软件对具体的a.

We_must_know. We_will_know.

2楼2013-07-18 00:14:39

东方天遥

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引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2013-07-17 10:58:55
如果你只想要定性的结果,可以参考求和转换为积分.

首先,把m n求和从零到无穷大改为从负无穷大到无穷大, 自己算出它们的关系.

其次,积分对全平面, 积分函数为 exp(-a* sqrt(x^2+y^2) ) dx dy,
转为极坐标 dx ...

我已经在这个近似下计算过了，但是，我是想得到一个一般解析解

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天行健，君子以自强不息

4楼2013-07-18 01:49:01

pippi6

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【答案】应助回帖

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数值解很平凡，解析解不可能

5楼2013-07-18 10:08:17