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hnkfywt

木虫 (小有名气)

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[求助] 求助大家一个关于距离的问题。

我在林文夫的一本书中看到的。问题大概是这样：
我认为向量内积不能用来定义距离，因为不能满足三角不等式，必须要将内积开平方才可以定义为距离。比如在线性空间中向量X，内积为X'X不能定义为距离，但是(X'X)^1/2就可以定义为空间中的距离，因为这只是从一维，二维，。。。直至多维的自然推广而已。
在林的这本书中，他定义了空间中任意两个向量X和Y的距离：(X-Y)'M(X-Y)，其中M是正定矩阵。我的问题是为什么这个公式可以用来定义距离？

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星星之火，可以燎原。

1楼 2013-05-30 08:31:49

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

weft

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

引用回帖:

19楼: Originally posted by hnkfywt at 2013-06-04 22:45:58
xiexie非常感谢！
我的新疑问是，林文夫的教材中，为何非要内积中加一个正定矩阵M来定义距离，然后再求距离最小值，为什么不直接利用内积来定义距离再求最小值呢？
注:林文夫是计量经济学专家，这个问题在他的 ...

这个问题问得好. 一个浅显的解释是任何正定矩阵都可以定义一个内积, 这只要按照内积的定义逐条检查即可. 而你心中想的内积是另外一回事, 是用单位矩阵(当然是正定的)定义的内积, 这个内积我们平常用得最多, 就是把两个向量的坐标对应相乘然后相加. 所以从这个角度来说, 你心中想的那个内积只不过是用正定矩阵定义内积的一个特殊情形而已. 至于选用哪个正定矩阵来定义内积, 那就是另外一个问题了, 这是由具体应用的需要来决定的. 所以你需要解决的问题应该是在你的领域里面为什么是那个正定矩阵而不是单位矩阵, 这就不是单纯的数学问题了, 我想应该是出于你们那个研究领域的一些具体的考量.