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如何用 数值解法 求 二阶微分方程的本征值 已有1人参与
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如图片中所示的二阶微分方程，其中a, b 是已知参数，需要确定 本正值 E, 就是那个小写的 ipsilon, 就是这个微分方程有本征值，以及求这个本征解。 我只听说可以用 切比雪夫多项式 的方法解这个微分方程，可是我没有找到相关类似方法的具体步凑，我只找到了这个多项式的具体形式，不知道这个尝试解的收敛性是怎么操作的。 如果大家有别的 尝试解 的方法，有参考文献资料的最好了。  微分方程.jpg |
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feixiaolin
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【答案】应助回帖
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signo: 金币+50, ★★★很有帮助 2014-01-09 01:20:27
signo: 金币+50, ★★★很有帮助 2014-01-09 01:20:27
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作变量代换，令 p(x)=y'(x)/y(x) 可得解析解。 原式变为 p'(x)+p^2(x)=x^2+a/x+b/x^2+e 再取 p(x)=p1(x)+p2(x)+p3(x)+p4(x) p1(x)+p1^2(x)=a*x^2; p2(x)+p2^2(x)=a/x; p3(x)+p3^2(x)=a/x^2; p4(x)+p4^2(x)=a; 见附件 -------------------- 最后，{lny(x)}'=p(x) y(x)=exp{Intergrate[p(x),x]}  001.JPG  002.JPG  003.JPG  004.JPG |
16楼2014-01-06 19:25:22
2楼2013-04-14 22:44:05
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我搜了 你说的 Numerov's method， 里面有说解 Schrödinger Equation ，我这个方程就是从 薛定谔方程画出来的。 http://en.wikipedia.org/wiki/Numerov%27s_method |
3楼2013-04-14 22:54:32
onesupeng
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【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
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我可以简单地说一个思路，这个用差分法，结合matlab计算，比较容易实现。首先，假定x定义在[x0,x1]之间，且从方程看，可能还要求x1>x0>0。把你的方程记为：eps''=f(x) eps 假定将计算域划分为N，在i点差分你的方程，大约有： eps_(i-1)-2*eps_i+eps_(i+1)=f(x_i)dx^2 eps_i -->1*eps_(i-1)-[2+f(x_i)dx^2]*eps_(i)+1*eps_(i+1)=0 当i=1时，利用边界条件，可以把eps_(i-1)用eps_i+eps_(i+1)表示，方程可以写为 -[2+f(x_i)dx^2+a]*eps_(i)+[1+b]*eps_(i+1)=0 的形式。同理可求i=N点的情况。 于是方程离散为： [A]*[eps]=0 其中，[A]为N*N的三对角矩阵： a1 b1 0 0 .................... b a b 0 .................... .................................... .........................b a b ............................b2 a2 于是，使用matlab求[A]的特征值。即为你需要的情况。如果说成这样你还不会，我可以帮你编程，但是你需要联系你导师发表论文挂我为作者之一。 |
4楼2013-04-15 03:20:12
