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signo

新虫 (正式写手)

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[求助] 如何用数值解法求二阶微分方程的本征值已有1人参与

如图片中所示的二阶微分方程，其中a, b 是已知参数，需要确定本正值 E, 就是那个小写的 ipsilon, 就是这个微分方程有本征值，以及求这个本征解。

我只听说可以用切比雪夫多项式的方法解这个微分方程，可是我没有找到相关类似方法的具体步凑，我只找到了这个多项式的具体形式，不知道这个尝试解的收敛性是怎么操作的。

如果大家有别的尝试解的方法，有参考文献资料的最好了。

微分方程.jpg

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1楼2013-04-14 21:40:03

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feixiaolin

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【答案】应助回帖

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signo: 金币+50, ★★★很有帮助 2014-01-09 01:20:27

作变量代换，令 p(x)=y'(x)/y(x) 可得解析解。
原式变为 p'(x)+p^2(x)=x^2+a/x+b/x^2+e
再取 p(x)=p1(x)+p2(x)+p3(x)+p4(x)
p1(x)+p1^2(x)=a*x^2;
p2(x)+p2^2(x)=a/x;
p3(x)+p3^2(x)=a/x^2;
p4(x)+p4^2(x)=a;
见附件
--------------------
最后，{lny(x)}'=p(x)
y(x)=exp{Intergrate[p(x),x]}