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甜芯儿葱

新虫 (初入文坛)

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[求助] 求证不等式

请问能否由图中第一个不等式推出第二个？或者想要由第一个推出第二个需要什么条件呢？主要是证明不等式的右面，貌似左面我可以证出来。俺需要主要的过程~谢谢各位大神了！

证明.jpg

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1楼2013-04-08 19:38:30

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weft

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

引用回帖:

10楼: Originally posted by 甜芯儿葱 at 2013-04-09 17:11:15
其实A、B和C是同一个参数（角度）的函数，三个函数随角度变化的曲线如左图，右图是不等式中平方比的曲线。不知道这样的几条曲线能否满足不等式的右边？

ABC函数.jpg
...

看了你的图片, 右边那张表明函数 ${f(A(\theta), B(\theta), C(\theta))}$ 是关于变量 ${\theta}$ 的单调递增函数, 其中 ${f(A, B, C)}$ 是我在前面的回帖中定义的那个三元函数. 因为是递增函数, 所以显然有 ${ f(A(\theta_1), B(\theta_1), C(\theta_1)) < f( A(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}), B(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}), C(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}) ) < f(A(\theta_2), B(\theta_2), C(\theta_2)) }$ , 但是注意, 这个还不是你在原帖中想要的不等式, 因为你原来想要的是 ${ f(A_1, B_1, C_1) < f( \frac{A_1 + A_2}{2}, \frac{B_1 + B_2}{2}, \frac{C_1 + C_2}{2} ) < f(A_2, B_2, C_2) }$ , 这是三元函数 ${f(A, B, C)}$ 所满足的不等式, 与 ${f(A(\theta), B(\theta), C(\theta))}$ 作为 ${\theta}$ 的一元函数所满足的不等式是不一样的. 所以, 我现在有点怀疑, 你到底想要的是哪一种? 如果一元函数这种, 那显然已经有了. 但如果是三元函数那种, 那可以严格证明, 你想要的那个不等式本质上要求三元函数 ${f(A, B, C)}$ 沿着各个方向都必须是单调的, 这个就要看 ${A, B, C}$ 这三个函数的具体表达式了.

另外, 你是怎么事先知道 ${ \frac{A_1^2}{B_1^2 + C_1^2} < \frac{A_2^2}{B_2^2 + C_2^2} }$ 的呢?