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zelatan

木虫 (著名写手)

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[交流] 请教一个将球面转换成平面的问题

要在一个类似碗内侧一样的球面上贴上纸，纸是要分成16等份的。请问该如何计算？
碗的上下口径分别为120mm 和 150mm，碗所对应的球的直径为260mm（就是说碗的侧壁是球的一部分）
向各位请教，这样的问题该如何处理？
谢谢先!

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1楼 2013-03-02 08:19:21

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sukiyq

木虫 (小有名气)

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
zelatan: 金币+10 2013-03-03 19:08:20

我理解的是，这是一个“球台”的侧面积的表示问题。也就是说，在一个直径为260mm的球上，平行地切两刀，切出了一个像碗一样的几何体，咱暂且叫它球台，现在要用16块布条铺满这个球台的侧面积。

这个侧面其实是旋转面，一个半圆，以直径为轴旋转360度就成了球面，半圆的一部分以直径为轴旋转360度，就成了本问题所需的球台侧面。如果16个布条一样，那么每个布条就负责360/16=22.5度的旋转部分，下面就是用几何表达式把这一部分侧面表示出来。

首先把球面参数化为：
x=r*cos(a)*cos(b)
y=r*cos(a)*sin(b)
z=r*sin(a)
如果用地球表面来理解，那么r是球半径，a从-90到90度，是纬度，正号代表北纬，负号代表南纬，b从0到360度，是经度。一片纸负责b在[0,22.5度]之间的部分，所有纸都相同。而要求得角度a的范围，就要计算一下碗对应的纬度是多少，这个很容易算，咱假设碗是倒扣在北半球上的，碗底比碗口离北极更近。
碗底对应的纬度为arcsin(120/260)
碗口对应的纬度为arcsin(150/260)

现在参数范围有了，可以对一个纸片进行参数化了，比如把角度a和b都各分成100份，画图或者开始造曲面...