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关于量子力学和量子场论的关系的一系列疑问 已有4人参与
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众所周知，量子力学和量子场论是处理微观领域的强有力的工具，上世纪众多伟大的物理学家们为这两个理论的建立做出了巨大的贡献。（高等）量子力学教科书里一般先从量子力学的数学构架开始，采取公理化方式，先做一系列的假设，然后在这些假设的基础上做严格的或近乎严格的推理，得出了符合实验的理论。 一般地，这种公理化方式可以处理许多体系，小到微观粒子，大到宏观的体系（比如薛定谔的猫），再大到量子宇宙。说句玩笑话，只要给定一个体系，我们都可以量子化它，包括我们人在内！而在这些众多的体系中，场，这一重要的体系，被重点量子化了，于是量子场论诞生了，并迅速成为高能粒子物理的理论基础。 可是，从量子场论的物理结果来看，理论给出的却是粒子及其状态，这让人不禁想到量子力学这一描述粒子的理论，于是疑问自然就产生了，这两个理论的关系怎样呢？下面，我按照量子力学的公理化方式，就教科书里的量子假设依次给出一些疑问。 1.态假设。量子力学中的态主要是所处理体系即粒子的状态及其组合而成的多粒子的态；按照这个假设，量子场论处理的是场，因此需要的是场的状态，可是量子场论给出的依然是粒子的状态，这是怎么回事呢？ 2.力学量算符假设。以第一个假设为基础，量子力学中的力学量算符还是关于粒子，比如粒子的动量、能量、角动量等等；可是，对于场，我们通过时空对称构造的一些物理量，比如场的能动张量，可量子化后给出的依然是关于粒子的信息，不是关于场的，我们无法知道场的动量的平均值等等，这与前一个疑问一样。 3.力学量算符的对易规则，对于这一假设，没有什么问题。 4.体系的态的演化方程。对于粒子这种简单的体系，量子力学以薛定谔方程作为描述其状态演化的方程；对于场，虽然我们也可以写出其泛函形式的薛定谔方程，可是这种方程作用不大，特别在处理费米场，比如Dirac场的时候，似乎写不出薛定谔方程模样的方程，这又如何解释呢？ 5.全同粒子假设。对于量子力学，这仅仅是个假设；相反，在量子场论中，玻色场和费米场的区分很明显，即便是在经典场的层面上。费米场的经典对应是Grassmann数。 6.态叠加原理。这个原理在量子力学中引起的问题不小，比如量子测量引起的瞬时塌缩，纠缠等等。如果单从形式来看，场的傅里叶展开也是叠加的，即这个展开在形式上与波函数的态展开极像，它们代表的意义是否是相同的呢？或者，我们考虑场的波函数（泛函）的展开，不过意义模糊，我们可以测量场吗，场之间也有纠缠吗？ 7.在凝聚态物理这样的多粒子体系中，二次量子化这样的名词很是常用，它的错略解释是粒子波函数的量子化，可是它的形式却与场的正则量子化很像，因此通常也把场量子化说成二次量子化。可是，从公理化体系看，它们处理的对象不同，二次量子化是抽象的波函数，而场量子化处理的是实在的场，这种区别难道是真实的吗？如果二次量子化可行性很好，那么对于场也会有相应的二次量子化，即场的波函数的量子化，而这个量子化又是否存在呢？ 8.对于电子的量子力学的态演化方程，如果要考虑自旋，我们可以人为地加入泡利矩阵，而量子场论却轻而易举地就给出了自旋的出处。此外，由于自旋无经典对应，这是否说明从粒子的经典哈密顿体系来量子化的那种方式有其局限性呢？ 我的能力有限，只能想到这么多的疑问了。总的来说，将粒子和场作为两个独立的体系来分别量子化的理解似乎不妥，既然场的量子化给出粒子，那么只要量子场论就可以了，不需要特意的用量子力学来描述粒子。不过，如果这种想法合理的话，那么我在上面提到的宏观体系的量子化甚至是量子宇宙，似乎就没有立足之地了。 欢迎对这个问题有兴趣的同行来讨论！  |
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3楼2013-01-09 16:15:34
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5楼2013-01-10 09:50:54
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10楼2013-01-11 15:02:31
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12楼2013-01-11 16:10:29
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其实，我当时只是粗糙地看了弦论。对于弦论的目的，可从那批弦论家们怎么看待由（1.2.2）或（1.2.5）给出的量子化方程看出，他们根本不是把所得到的KG方程看作是相对论粒子的态演化方程，而是看作经典场方程。他们由此将粒子甚至是弦看作是客观实体（古希腊的那中最终原子组分），而场看作是粒子或弦的低能极限。这就是为什么弦论是最热门的大统一理论的候选者，因为（超对称）弦的量子化给出的经典场包括诸如引力场、规范场、费米场等等粒子物理中所有的基本场，外加许多由于额外维紧化所得到的大量不知名的场。 的确，相对论粒子或弦论处理的是具有约束条件的动力学体系，而其约束条件在粒子情况下是质能关系，而在弦的情况下是二维场论的能、动量张量的守恒。 我当时也一直对超弦理论深信不疑，学习了一些。不过后来，觉得其前景太渺茫了（主要是客观条件不允许），所以暂时放弃了。再后来，我就觉得弦论的哲学基础似乎与量子场论的不同，即弦论是先有粒子或弦这种微观客体，然后再将其量子化，得到场；而在量子场论中，粒子是从场中激发出来的，因此是先有的场。就目前的情况看来，量子场论似乎更基本些，所以我就先考虑量子场论与量子力学的东西了。 “究竟是先有粒子，还是先有场？”，这个问题感觉就像“鸡和鸡蛋”的问题一样，从各自的数学表述上看，似乎都没问题，因为它们都遵守着量子化公理。不过，那些弦论家们根本不关心这些，因为在他们心中的最基本客体是弦，场只是弦的低能近似，然后才有的量子场论，所以看来我是在“自找麻烦”了，呵呵 |
14楼2013-01-12 09:54:04
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17楼2013-01-13 10:24:03
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的确是够简洁！ QFT的对称性和量子性，我明白，不过，量子力学（作为处理粒子的理论）的对称性和量子性怎么说呢？经典场本身作为时空坐标的函数，其对称性自然来自于时空变换的一些性质，在量子化后，这些对称性大部分还都存在。对于经典粒子，它的坐标本身只作为时间的函数，其对称性很难与时空的一些变换性质联系起来，只是在其量子化之后，相应的时空变换性质才得以显现于波函数中，于是我们才了解了对称性的真实本质——即时空变换下体系的不变性。这样看来，粒子的对称性的体现不如场的。 不过，对于相对论粒子以及弦，其对称性有所不同（这一段相比上一段的讨论更几何化些）。比如，粒子在时空中运动出一条世界线，因此其对称性来自于一维时间参数的reparametrization，这个对称性在粒子量子化后给出了一个约束方程即KG方程，类似地，弦作为一维客体，其在时空中运动形成一个二维的世界面，因此弦的对称性是这个世界面上的时空对称，量子化后也会得到一些方程。注意，这两类客体实际上具有两种对称性，一是靶空间（即它们所运动的真正的D维时空）中的对称性，另一种是粒子或弦运动所形成的子空间的对称性。 现在来比较这两种分析，很明显，第一种分析更倾向于强调时空对称性，而在第二种分析中，时空对称性的重要性让位于子空间的对称性。不过，在弦论的低能极限下，我们就回到了场论，此时时空对称再次成为主角，AdS/CFT也才有效。实际上，AdS/CFT来源于D膜对时空一种分割，CFT来自于D膜上的规范场（开弦端点），而AdS则来自于靶空间中的引力场（或闭弦）。 而我目前关注的是第一种分析，即时空对称是重点。此时，你也看出，经典粒子不如经典场可以更好地体现时空对称性，因此在这个意义上说场是比粒子更基本是不为过的。那么，相反地，如果以第二种分析为依据，弦作为基本客体也是不为过的。 |
19楼2013-01-13 14:31:41
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我前面的回复是按照（你提出的）对称性和量子性解释的。 很明显，通常我们考虑经典力学中的对称性或守恒定律，不会去刻意提及时空的变换，当然协变原理除外。量子力学的发展提供了以时空变换为框架的对对称和守恒律的系统讨论。当然这是从理论的发展的观点来看，从体系来看，粒子（可看作一维场）的对称性本来就不及四维场的对称性的丰富，但是究竟它们谁更基本，还不好说。 重参数化是广义协变性的一种啊，因此称其为对称性也可以（注意，不是所有的对称性都有对应的守恒量，比如boost就没有什么守恒量。） 约束条件当然是自由粒子下才具备的，相互作用可能会破坏重参数化不变性的。 无穷多粒子和场不具有什么直接联系，相干态是个很好的例子。相干态中包含无穷多粒子的态，可是它与作为场的谐振子有什么关系呢？ |
22楼2013-01-13 16:39:53