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songzq

铁杆木虫 (正式写手)

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[求助] 求助证明

如何证明若元素之和最小即元素倒数之和最大？

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升级了

1楼2012-11-25 20:13:19

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vect

至尊木虫 (著名写手)

应助: 171 (高中生)
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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

利用著名的不等式，调和平均值小于等于几何平均值小于等于算术平均值。即得
n/（1/a1+1/a2+...+1/an）<=(a1+a2+..+an)/n
得1/a1+1/a2+...+1/an>=n^2/(a1+a2+...+an),当分母最小的时候，整体的下限显然最大。
最后发现这个证明不太严密。总觉得条件有些不明确。即这n个数是随意的么？如任取其中的一个接近于0，则最大值就趋向于无穷，显然命题没有证明的必要，所谓的最大值应该是有限的，即ai应该是一个有下限的设定吧