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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 如何判断两个线性子空间正交
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wshb0601

金虫 (小有名气)

[求助] 如何判断两个线性子空间正交

背景：
      现在有两个矩阵A1和A2，其中A1是m1×n矩阵，A2是m2×n矩阵，求解线性方程组
      A1*x=0和A2*x=0之后，我们会得到两个解空间V1,V2它们都是n维线性向量空间的子空间。

问题： 如何判断V1和V2的交集只有0？也就是说，如何判断V1和V2正交？
           有没有适合计算机编程实现的方法？谢谢！
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1楼 2012-10-26 09:02:18
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
wshb0601: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2012-10-29 10:18:57
V1与V2交集是零，等价于
如果存在X，使得A1X=0，A2X=0，则X=0   （**）
令A的前m1行为A1的元素，后m2行为A2中的元素，则AX=0等价于A1X=0且A2X=0；所以AX=0，则必须X=0
所以条件为A的秩为n，即将A1的行向量与A2的行向量构成的向量组的秩为n
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4楼2012-10-26 15:50:27
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fdliuqing

禁虫 (正式写手)
★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, QQQ 2012-10-30 19:09:58
本帖内容被屏蔽
2楼2012-10-26 10:34:07
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novalxh

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, QQQ 2012-10-30 19:10:05
两个解空间里面的元素都不相同则就说明解空间没有交集，即任取一个解空间V1里面的元素不满足A2*x=0; 但就题目本身所给的条件似乎还判断不出来。
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持之以恒
3楼2012-10-26 13:24:11
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