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C^1函数的极大值的原象是一个什么样的集合？
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设 $f(sx):\mathbb{R} \time S^1 \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个连续可微函数，其中，$S^1$是一个单位球面(参数球面). (1) 对固定的 $x\in S^1$, 若存在 $R_x>0$, 使得当 $r\ge R_x$ 时，$f(sx)$ 是严格单调递减的; (2) $f(sx)=s^2$ 在原点附近关于 $x\in S^1$ 成立。 于是，对于固定的 $x\in S^1$ 是 $f$ 的极大值是存在的，且是一个大于零的正数，记极大值点的原象为 $m(x)$. 因此，对于每一个$x\in S^1$, 至少存在一点$m(x)$ 使得 $f(m(x)x)=max_{s\in\mathbb{R}^1}f(sx)>0$. 当然，对于固定的 $x$, $m(x)$ 不一定是唯一的。 问题：这些极大值原象 $m(x)$ 构成的集合\{m(x)| x\in S^1\}$ 是一个什么样的集合？它是一个连通的集合吗？或者说 $m(x)$ 会连续依赖 $x$ 吗？ |
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