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[求助] 求解极限疑惑

lim┬(x→0+)⁡〖2(x+1)arctan〗 1/x

有一道题分段函数x>0是上面的函数，求极限时是用arctan（1/x）在0+时是2分之一派，算出来结果是派，而我是用无穷小替换，算出来是2. 想知道为什么不能用无穷小替换。
这道题x<0的部分，书上是用无穷小替换，所以很纳闷，为什么X>0就不可以替换

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1楼 2012-07-06 16:43:32

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lovibond: 金币+2, 鼓励积极应助 2012-07-28 07:44:06

引用回帖:

9楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-07-07 15:43:49
当然了!举一个简单的例子:$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=0$,但若将sinx 直接换成其等价无穷小量x,则$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{ x}{x}=1$,这显然是 ...

当然了!举一个简单的例子: $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=0$ ,但若将sinx 直接换成其等价无穷小量x,则 $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{ x}{x}=1$ ,这显然是错误的.

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10楼2012-07-07 15:44:58

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由于公式是在word编辑后直接复制过来，所以有点错误，上面中括号是没有的

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2楼2012-07-06 16:45:11

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

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2楼: Originally posted by onion113 at 2012-07-06 16:45:11
由于公式是在word编辑后直接复制过来，所以有点错误，上面中括号是没有的

x->0+时,2(x+1)与arctan1/x都不是无穷小量,怎么能用等价无穷小量代换呢?求极限中等价无穷小量代换时:分子或分母的因式如果是无穷小量,则可以无条件代换,除此外,你换时都要小心,不一定能直接代换.

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3楼2012-07-06 18:10:12

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3楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-07-06 18:10:12
x->0+时,2(x+1)与arctan1/x都不是无穷小量,怎么能用等价无穷小量代换呢?求极限中等价无穷小量代换时:分子或分母的因式如果是无穷小量,则可以无条件代换,除此外,你换时都要小心,不一定能直接代换....

所以符合替换公式也要看一下是不是无穷小吗

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4楼2012-07-07 10:15:09

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【答案】应助回帖

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4楼: Originally posted by onion113 at 2012-07-07 10:15:09
所以符合替换公式也要看一下是不是无穷小吗...

当然了!举一个简单的例子: $\mathrm{lim}\limit{x\rightarrow\infinity}=0$ ,但如果用将sin x直接代换为x,则进: $\mathrm{lim}\limit{x\rightarrow\infinity}\frac{\sin x}{x}=\mathrm{lim}\limit{x\rightarrow\infinity}\frac{x}{x}=x$ ,显然是错的.

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5楼2012-07-07 15:29:19

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5楼: Originally posted by xuyx_78 at 2012-07-07 15:29:19
当然了!举一个简单的例子:\mathrm{lim}\limit{x\rightarrow\infinity}=0,但如果用将sin x直接代换为x,则进:\mathrm{lim}\limit{x\rightarrow\infinity}\frac{\sin x}{x}=\mathrm{lim}\limit{x\rightarrow\infinity ...

当然了!举一个简单的例子:\mathrm{lim}_{x\rightarrow\infity}=0,但如果用将sin x直接代换为x,则进:\mathrm{lim}_{x\rightarrow\infity}\frac{\sin x}{x}=\mathrm{lim}_{x\rightarrow\infity}\frac{x}{x}=1,显然是错的.

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6楼2012-07-07 15:32:22

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当然了!举一个简单的例子: $\mathrm{lim}_{x\rightarrow\infity}=0$ ,但如果用将sin x直接代换为x,则进: $\mathrm{lim}_{x\rightarrow\infity}\frac{\sin x}{x}=\mathrm{lim}_{x\rightarrow\infity}\frac{x}{x}=1$ ,显然是错的.

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7楼2012-07-07 15:33:13

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onion113: 金币+2, ★★★★★最佳答案 2012-07-08 09:17:13

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4楼: Originally posted by onion113 at 2012-07-07 10:15:09
所以符合替换公式也要看一下是不是无穷小吗...

当然了,举一例子: $\lim\limits{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}$ ,但若将sin x 换成其等价无小,则 $\lim\limits{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits{x\rightarrow\infty}\frac{x}{x}=1$ ,显然是错的.

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8楼2012-07-07 15:37:21

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4楼: Originally posted by onion113 at 2012-07-07 10:15:09
所以符合替换公式也要看一下是不是无穷小吗...

当然了!举一个简单的例子:$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=0$,但若将sinx 直接换成其等价无穷小量x,则$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{ x}{x}=1$,这显然是错误的.

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9楼2012-07-07 15:43:49

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