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shy1992331

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[交流] 北大2011直博试题求助已有2人参与

函数f（x）是定义在[0,1]上的凸函数且过点（0，0）（1/3，2）（1，0），而且满足在0，1上关于x的积分为1，画出f（x）的图形~~~
大家是怎么思考的啊？求思路~~

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1楼 2012-04-03 22:37:26

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laosam280

禁虫 (正式写手)

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2楼2012-04-04 11:05:36

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shy1992331

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2楼: Originally posted by laosam280 at 2012-04-04 11:05:36:
这个不难，凸函数的基本类型有好几种。你可以首先尝试二次曲线，不行的话就尝试正弦函数。
经过计算，可得f(x)=0.5*pi*sin(pi*x), x\in.
具体过程不算复杂，假设f(x)=a*sin(b*pi*x)+c，接下来就是待定系数法了。 ...

可是这3点组成的三角形的面积就已经是1了，按照凸函数的图形形状来看，过这3点的一般的凸函数与x轴围成的图形的面积应该都是大于1的，为什么会等于1 啊？想不出这样的凸函数的形状是怎么样的？

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3楼2012-04-04 12:15:34

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xxxfield

银虫 (小有名气)

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3楼: Originally posted by shy1992331 at 2012-04-04 12:15:34:
可是这3点组成的三角形的面积就已经是1了，按照凸函数的图形形状来看，过这3点的一般的凸函数与x轴围成的图形的面积应该都是大于1的，为什么会等于1 啊？想不出这样的凸函数的形状是怎么样的？

所以，这个三角形就是解了。分段线性函数：
f(x)=6x, 0<=x<=1/3; =3(1-x), 1/3<=x<=1.

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4楼2012-04-05 12:36:57

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