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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 巨根本的一个问题：在没有坐标架的情况下，欧几里德如何定义内积？
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dyc_2008

捐助贵宾 (著名写手)

[求助] 巨根本的一个问题：在没有坐标架的情况下，欧几里德如何定义内积？

欧几里得（约公元前330年—前275年）
勒内·笛卡尔（1596——1650）
可见，欧几里德定义内积时，并没有坐标系。
既然没有坐标系，向量都没法表象。又怎么定义内积。

在下非数学专业，请虫友不要推荐我看《欧氏几何》
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一布福田，二修菩提
1楼 2012-03-14 11:26:07
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xxxfield

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
dyc_2008(金币+2): 2012-03-14 21:02:49
两个向量的内积定义为这两个向量的长度之积再乘上这两个向量的交角的余弦。不需要坐标，学过物理的都知道。所以说数学还是需要背景的。
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4楼2012-03-14 20:46:47
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xiangqianzsh

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
dyc_2008(金币+3): 2012-03-14 21:02:44
摘自  高等代数第三版，北大教研室编
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2楼2012-03-14 17:53:02
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dyc_2008

捐助贵宾 (著名写手)
引用回帖:
楼: Originally posted by xiangqianzsh at 2012-03-14 17:53:02:
摘自  高等代数第三版，北大教研室编
23/11/1217881_1331718754_346.gif

不得不说，是在直角坐标系中，才能用内积来表示长度和角度。
所以，你的回答中已经有了直角坐标。请指教
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一布福田，二修菩提
3楼2012-03-14 18:37:13
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
★
lovibond: 金币+1, 鼓励交流 2012-03-17 17:00:09
欧几里德定义的内积是一般内积的特殊形式，
现代给出的内积定义是公理化定义，只要满足2楼所说的四条性质，都是内积。所以可以不要坐标系。
但对线性空间而言，都存在基，这就类似于坐标系。而在内积空间空间里，可以取标准正交基，在此基下，有限维内积空间就和普通的R^n空间一样。
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5楼2012-03-14 21:56:46
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