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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 小弱问拓扑
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sdclyglwm

新虫 (初入文坛)

[求助] 小弱问拓扑

今天偶尔看了两个拓扑学的有趣的问题（来自于拓扑学奇趣），但怎么也觉得两个的结论似乎矛盾。求大神帮忙解释解释：
  其一：三个农场分别与三口井建水渠，要求水渠不能相交是不可能的。这似乎显而易见。
  其二：在平面内存在三个连通区域有公共边的情形。这个问题由似乎是叫和田的日本数学家得到了解决。其利用无限分割的方法，也很好理解。
但是，当把两者在一块分析时，就不明白了：既然存在公共边，而且是连通的曲线。那么其上一定存在大于三个的点。在其上任取三点，在三个区域中个任取一点。那么，很明显，在任何一个区域中总存在，三条互不相交的曲线，将公共边上的三个点与区域内部的点连接起来，而这三个区域又是互不连通的，即其内取的曲线是不会相交的。那么，这就与第一个的结论矛盾了啊！
求解释！求解释！！求解释！！！
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1楼 2012-03-02 12:13:09
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

cinema1980

木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个问题很有意思。
第一个命题是图的平面嵌入问题。
第二个命题不太了解。

可能是对曲线的定义不同吧。
第一个命题侧重曲线是映射关系，强调曲线是两个端点的映射关系，而与曲线的形状无关。是图的平面嵌入问题，库拉图斯基定理就能直接说明命题一的正确性。曲线反映的是一对端点的映射关系。

第二个命题侧重曲线的具体形状，强调闭合曲线的形状对圈定区域的性质的影响，而与映射关系无关。

可以说是描述了不同事物的相似方面。比如说矩形区域内最长的线段为对角线，最长的曲线长度是无限长，但你不能说对角线的长度为无限长。
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日日新
9楼2012-03-03 21:09:59
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普通回帖

我若为草2

铜虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个问题比较深奥啊
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2楼2012-03-02 16:49:05
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aggieatm

铁杆木虫 (文坛精英)
太深奥了。
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3楼2012-03-02 21:27:49
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xxxfield

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
如果按lz第二个例子这样，可以构造三条互不相交的曲线，不过这些曲线极为复杂（必定不是局部连通的）。如果按此建水渠的话，井里的水永远流不到村子里。
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4楼2012-03-02 22:08:55
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xxxfield

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

图片是两条分别连接正方形的两个对角线的“曲线”，但他们没有交点。

穿过而不相交的曲线
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5楼2012-03-02 22:18:56
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sskkyy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by xxxfield at 2012-03-02 22:18:56:
图片是两条分别连接正方形的两个对角线的“曲线”，但他们没有交点。
82/19/1496745_1330697828_668.png
穿过而不相交的曲线

图形画得不错，也充分用到了拓扑学家的曲线的性质。但是，构造的这个拓扑空间还能称为“曲线吗”？一般的曲线是指（0,1）在一个空间中的像。
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6楼2012-03-02 22:36:58
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sdclyglwm

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
楼: Originally posted by xxxfield at 2012-03-02 22:08:55:
如果按lz第二个例子这样，可以构造三条互不相交的曲线，不过这些曲线极为复杂（必定不是局部连通的）。如果按此建水渠的话，井里的水永远流不到村子里。

水渠只是个例子……
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7楼2012-03-02 22:37:29
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xxxfield

银虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by sskkyy at 2012-03-02 22:36:58:
图形画得不错，也充分用到了拓扑学家的曲线的性质。但是，构造的这个拓扑空间还能称为“曲线吗”？一般的曲线是指（0,1）在一个空间中的像。

问题就在这里，三个区域有公共边界的例子中的边界首先不可能是曲线，而是非常复杂的。如果你要从区域内部一点连一条曲线到边界，那么基本上就只能是像我画的“曲线”差不多。如果你不承认这是曲线，那你在其二中构造的“曲线”也就不能称为曲线了。顺便说一下，在数学上这还真是一条曲线（如果把图中的直线去除的话），不过即使是这样不可思议的曲线，它其实只能充分靠近边界，而永远达不到边界上，所以我说水井里的水到不了村庄。
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8楼2012-03-02 22:55:35
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匿名

用户注销 (著名写手)
本帖仅楼主可见
10楼2012-03-03 23:28:29
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