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新虫 (初入文坛)

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[求助] 小弱问拓扑

今天偶尔看了两个拓扑学的有趣的问题（来自于拓扑学奇趣），但怎么也觉得两个的结论似乎矛盾。求大神帮忙解释解释：
其一：三个农场分别与三口井建水渠，要求水渠不能相交是不可能的。这似乎显而易见。
其二：在平面内存在三个连通区域有公共边的情形。这个问题由似乎是叫和田的日本数学家得到了解决。其利用无限分割的方法，也很好理解。
但是，当把两者在一块分析时，就不明白了：既然存在公共边，而且是连通的曲线。那么其上一定存在大于三个的点。在其上任取三点，在三个区域中个任取一点。那么，很明显，在任何一个区域中总存在，三条互不相交的曲线，将公共边上的三个点与区域内部的点连接起来，而这三个区域又是互不连通的，即其内取的曲线是不会相交的。那么，这就与第一个的结论矛盾了啊！
求解释！求解释！！求解释！！！

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1楼2012-03-02 12:13:09

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cinema1980

木虫 (著名写手)

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专业: 组合数学

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

这个问题很有意思。
第一个命题是图的平面嵌入问题。
第二个命题不太了解。

可能是对曲线的定义不同吧。
第一个命题侧重曲线是映射关系，强调曲线是两个端点的映射关系，而与曲线的形状无关。是图的平面嵌入问题，库拉图斯基定理就能直接说明命题一的正确性。曲线反映的是一对端点的映射关系。

第二个命题侧重曲线的具体形状，强调闭合曲线的形状对圈定区域的性质的影响，而与映射关系无关。

可以说是描述了不同事物的相似方面。比如说矩形区域内最长的线段为对角线，最长的曲线长度是无限长，但你不能说对角线的长度为无限长。