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aohu

新虫 (初入文坛)

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[求助] 矩阵乘积收敛性问题

有有限个矩阵C1,C2,...,Cn，他们有如下性质：
1）实数矩阵；
2）非对称；
3）非对角占优；
4）矩阵中有负元素；
5）矩阵中每个元素的绝对值都不大于1；
6）每个矩阵每列元素的和都为1；
7）已知每个矩阵的特征值和特征向量。并且每个矩阵的特征值均为[0,1]间的实数，但是特征向量1的重数不为1。但是所有矩阵有一个并且只有一个共同的1-特征向量。
8）所有特征向量都是独立的。
有任何理论可以证明这些矩阵的无限左乘积收敛吗？
为了更好地说明，下面给4个8*8矩阵的例子：
C1=[1.0000       0          0          0          0             0          0          0
      0.2500 0.7500       0          0       0.2500    0.5000       0          0
         0          0    1.0000       0          0             0          0          0
      0.2500       0          0       0.7500 0.2500          0          0    0.5000
         0          0          0          0          0             0          0          0
   -0.2500 0.2500       0          0       0.2500    0.5000       0          0
         0          0          0          0          0             0       1.0000       0
   -0.2500       0          0       0.2500 0.2500          0          0    0.5000]

C2=[0.7500    0.2500    0          0       0.5000    0.2500       0          0
         0       1.0000    0          0             0             0          0          0
         0             0    1.0000    0             0             0          0          0
         0       0.2500    0       0.7500       0       0.2500       0    0.5000
      0.2500 -0.2500    0          0       0.5000    0.2500       0          0
         0             0          0          0             0             0          0          0
         0             0          0          0             0             0       1.0000       0
         0       -0.2500    0    0.2500       0       0.2500       0    0.5000]

C3=[1.0000       0          0          0             0             0          0       0
         0       1.0000    0          0             0             0          0       0
         0          0       1.0000    0             0             0          0       0
         0          0       0.5000 0.5000       0             0    0.5000 0.5000
         0          0          0          0       1.0000       0          0       0
         0          0          0          0          0       1.0000       0       0
         0          0          0          0          0             0          0       0
         0          0    -0.5000 0.5000       0             0       0.5000 0.5000]

C4=[0.8333       0          0       0.1667 0.5000       0          0    0.1667
         0       0.8333       0       0.1667       0       0.5000       0    0.1667
         0          0    0.8333    0.1667       0             0    0.5000 0.1667
         0          0          0       1.0000       0             0          0          0
      0.1667       0          0    -0.1667    0.5000       0          0    0.1667
         0       0.1667    0    -0.1667       0       0.5000       0    0.1667
         0          0    0.1667 -0.1667       0          0       0.5000 0.1667
         0          0          0          0             0          0             0          0 ]
通过matlab验证，以上这四个矩阵任意组合的左无限乘积均收敛。可是如何用数学方法来证明呢？考虑过这些矩阵的平均（数学期望），可是仍旧是一个有负元素的矩阵，所以无法分析其特征值。考虑过用矩阵范数，但是由于有负元素，所以特征值的上界大于1，乘积趋近于无穷，也无法证明收敛。请问还有什么方法吗？
这个问题似乎水很深，不知道能不能解决。在已知每个矩阵特征值和特征向量的前提下，能用来分析他们的乘积是否收敛吗？谢谢，感谢任何形式的提醒或建议。哪怕是说明这个问题数学上目前无法证明也行，再次感谢。

[ Last edited by aohu on 2011-11-26 at 04:35 ]

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