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矩阵乘积收敛性问题
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有有限个矩阵C1,C2,...,Cn，他们有如下性质： 1）实数矩阵； 2）非对称； 3）非对角占优； 4）矩阵中有负元素； 5）矩阵中每个元素的绝对值都不大于1； 6）每个矩阵每列元素的和都为1； 7）已知每个矩阵的特征值和特征向量。并且每个矩阵的特征值均为[0,1]间的实数，但是特征向量1的重数不为1。但是所有矩阵有一个并且只有一个共同的1-特征向量。 8）所有特征向量都是独立的。 有任何理论可以证明这些矩阵的无限左乘积收敛吗？ 为了更好地说明，下面给4个8*8矩阵的例子： C1=[1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0.2500 0.7500 0 0 0.2500 0.5000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0.2500 0 0 0.7500 0.2500 0 0 0.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2500 0.2500 0 0 0.2500 0.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 -0.2500 0 0 0.2500 0.2500 0 0 0.5000] C2=[0.7500 0.2500 0 0 0.5000 0.2500 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0.2500 0 0.7500 0 0.2500 0 0.5000 0.2500 -0.2500 0 0 0.5000 0.2500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 -0.2500 0 0.2500 0 0.2500 0 0.5000] C3=[1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 0.5000 0 0 0.5000 0.5000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.5000 0.5000 0 0 0.5000 0.5000] C4=[0.8333 0 0 0.1667 0.5000 0 0 0.1667 0 0.8333 0 0.1667 0 0.5000 0 0.1667 0 0 0.8333 0.1667 0 0 0.5000 0.1667 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0.1667 0 0 -0.1667 0.5000 0 0 0.1667 0 0.1667 0 -0.1667 0 0.5000 0 0.1667 0 0 0.1667 -0.1667 0 0 0.5000 0.1667 0 0 0 0 0 0 0 0 ] 通过matlab验证，以上这四个矩阵任意组合的左无限乘积均收敛。可是如何用数学方法来证明呢？考虑过这些矩阵的平均（数学期望），可是仍旧是一个有负元素的矩阵，所以无法分析其特征值。考虑过用矩阵范数，但是由于有负元素，所以特征值的上界大于1，乘积趋近于无穷，也无法证明收敛。请问还有什么方法吗？ 这个问题似乎水很深，不知道能不能解决。在已知每个矩阵特征值和特征向量的前提下，能用来分析他们的乘积是否收敛吗？谢谢，感谢任何形式的提醒或建议。哪怕是说明这个问题数学上目前无法证明也行，再次感谢。 [ Last edited by aohu on 2011-11-26 at 04:35 ] |
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