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北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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08jmliu

新虫 (小有名气)

[交流] Let a function f : R => R be convex. Is f necessarily continuous? 已有3人参与

Let a function f : R => R be convex.  Is f necessarily continuous?
Why? Give me some details or references.

Thanks!
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xxxfield

银虫 (小有名气)

★ ★ ★ ★
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小雨萌萌(金币+3): 3Q 2011-11-23 09:10:13
Yes. For u (f(y)-f(x0))/(y-x0)<=(f(x0)-f(u))/(x0-u)
and
(f(x0)-f(x))/(x0-x)<=(f(w)-f(x0))/(w-x0).
Fix u and w and let x,y tend to x0.
2楼2011-11-20 20:56:56
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xxxfield

银虫 (小有名气)

Sorry, the second inequality should be
(f(x0)-f(x))/(x0-x)>=(f(w)-f(x0))/(w-x0).
3楼2011-11-20 20:58:16
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zhangzujin

铜虫 (初入文坛)


小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖
引用回帖:
1楼: Originally posted by 08jmliu at 2011-11-20 15:39:12:
Let a function f : R => R be convex.  Is f necessarily continuous?
Why? Give me some details or references.

Thanks!

Year. Indeed, the left and right derivative exists for each interior point...
4楼2011-11-20 21:21:09
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jfili

金虫 (正式写手)

★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖
小雨萌萌(金币+2): 3Q 2011-11-23 09:10:25
第一步:设F(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)在(x不等于a时有定义),先证F(x)单调增加,有上下界(在含a的某邻域上)
第二步:因为第一步的证明,可知F(x)在x
5楼2011-11-22 20:45:53
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