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08jmliu

新虫 (小有名气)

[交流] Let a function f : R => R be convex. Is f necessarily continuous？ 已有3人参与

Let a function f : R => R be convex.  Is f necessarily continuous？
Why？ Give me some details or references.

Thanks!
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1楼 2011-11-20 15:39:12
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xxxfield

银虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
小雨萌萌(金币+3): 3Q 2011-11-23 09:10:13
Yes. For u (f(y)-f(x0))/(y-x0)<=(f(x0)-f(u))/(x0-u)
and
(f(x0)-f(x))/(x0-x)<=(f(w)-f(x0))/(w-x0).
Fix u and w and let x,y tend to x0.
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2楼2011-11-20 20:56:56
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xxxfield

银虫 (小有名气)
Sorry, the second inequality should be
(f(x0)-f(x))/(x0-x)>=(f(w)-f(x0))/(w-x0).
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3楼2011-11-20 20:58:16
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zhangzujin

铜虫 (初入文坛)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
1楼: Originally posted by 08jmliu at 2011-11-20 15:39:12:
Let a function f : R => R be convex.  Is f necessarily continuous？
Why？ Give me some details or references.

Thanks!

Year. Indeed, the left and right derivative exists for each interior point...
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4楼2011-11-20 21:21:09
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
小雨萌萌(金币+2): 3Q 2011-11-23 09:10:25
第一步：设F(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)在（x不等于a时有定义），先证F(x)单调增加，有上下界（在含a的某邻域上）
第二步：因为第一步的证明，可知F(x)在x
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5楼2011-11-22 20:45:53
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