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1123580

木虫 (正式写手)

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[求助] 利用极坐标求解椭圆面积。。。请各位赐教

椭圆方程 x^2/a^2+y^2/b^2=1,
利用极坐标求解该椭圆的面积。。。
请各位赐教~

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1楼 2011-10-13 16:55:47

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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引用回帖:

7楼: Originally posted by 1123580 at 2011-10-16 15:01:34
这个方法是不行的，我们试过了，只有当椭圆变成圆的时候，面积才是正确的，椭圆不能按照圆的计算方法进行计算的，最后结果是(a^2+b^2)*Pi/2...

解题过程：
   无论如何，x=rCosθ,y=rCosθ是成立的。
在极坐标下的面积微元dS为:
   dS=r^2*dθ/2(面积微元按三角形计算），
椭圆的极坐标方程可写为：
   r^2=1/[(Cosθ/a)^2+(Sinθ/b)^2]
   dS=1/2*dθ/[(Cosθ/a)^2+(Sinθ/b)^2]
      =1/2*dθ/[Cosθ/a)^2*{1/[1+(a*tgθ/b)^2]}
      =1/2*a*b*a/b*dθ/[Cosθ]^2*{1/[1+(a*tgθ/b)^2]}
      =1/2*a*b*a/b*dtgθ*{1/[1+(a*tgθ/b)^2]}
      =1/2*a*b*d[a/b*tgθ]*{1/[1+(a*tgθ/b)^2]}
      =1/2*a*b*d[arctg(a*tgθ/b)]
   设从0到π/2积分得到的面积为S。
则椭园面积=4*S=4*1/2*a*b*arctg(∞)=2*a*b*π/2=π*a*b

   解题完毕！