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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 利用极坐标求解椭圆面积。。。请各位赐教
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1123580

木虫 (正式写手)

[求助] 利用极坐标求解椭圆面积。。。请各位赐教

椭圆方程 x^2/a^2+y^2/b^2=1,
利用极坐标求解该椭圆的面积。。。
请各位赐教~
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1楼 2011-10-13 16:55:47
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xiuyouxu

铁杆木虫 (职业作家)
面积就是pi*a*b, 极坐标求解的话, 计算应该比较复杂.
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忘记自己,忘记一切烦恼(欢迎访问我的网站兆字节：http://www.mathbeta.com/)
2楼2011-10-13 19:22:47
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

soliton923:编辑内容 2011-10-13 19:38
见5楼~~

[ Last edited by soliton923 on 2011-10-13 at 19:38 ]
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3楼2011-10-13 19:30:54
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soliton923

铁杆木虫 (职业作家)

数学村村长

再利用极坐标变换解出这个二重积分就ok了

[ Last edited by soliton923 on 2011-10-13 at 19:35 ]
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soliton;sato-theory;algebre-geometry；Random-Matrices-Theory; Riemann-Hilbert method
4楼2011-10-13 19:34:17
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
soliton923(金币+3): 正解！@_@~谢谢参与~~ 2011-10-13 19:39:04
1123580(金币+2): 十分感谢，不过请问这个半径p怎么取的？？ 2011-10-15 08:38:57
上面图片贴错了，不好意思。
椭圆在第一象限的面积为：
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5楼2011-10-13 19:35:57
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xuyx_78

金虫 (小有名气)
根据直角坐标与极坐标的关系：x=pcos(theta),y=psin(theta),代入椭圆方程，就可得到p^2.
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6楼2011-10-15 14:22:27
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1123580

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by xuyx_78 at 2011-10-15 14:22:27:
根据直角坐标与极坐标的关系：x=pcos(theta),y=psin(theta),代入椭圆方程，就可得到p^2.

这个方法是不行的，我们试过了，只有当椭圆变成圆的时候，面积才是正确的，椭圆不能按照圆的计算方法进行计算的，最后结果是(a^2+b^2)*Pi/2
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7楼2011-10-16 15:01:34
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xuyx_78

金虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 1123580 at 2011-10-16 15:01:34:
这个方法是不行的，我们试过了，只有当椭圆变成圆的时候，面积才是正确的，椭圆不能按照圆的计算方法进行计算的，最后结果是(a^2+b^2)*Pi/2

你算错可能是因为你把椭圆的参数方程x=acost,y=bsint就做为椭圆的极坐标方程方程了，请看5楼我发地计算过程。
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8楼2011-10-16 17:30:07
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
7楼: Originally posted by 1123580 at 2011-10-16 15:01:34
这个方法是不行的，我们试过了，只有当椭圆变成圆的时候，面积才是正确的，椭圆不能按照圆的计算方法进行计算的，最后结果是(a^2+b^2)*Pi/2...

解题过程：   
      无论如何，x=rCosθ,y=rCosθ是成立的。
    在极坐标下的面积微元dS为:
      dS=r^2*dθ/2(面积微元按三角形计算），
    椭圆的极坐标方程可写为：
     r^2=1/[(Cosθ/a)^2+(Sinθ/b)^2]
      dS=1/2*dθ/[(Cosθ/a)^2+(Sinθ/b)^2]
         =1/2*dθ/[Cosθ/a)^2*{1/[1+(a*tgθ/b)^2]}
         =1/2*a*b*a/b*dθ/[Cosθ]^2*{1/[1+(a*tgθ/b)^2]}
         =1/2*a*b*a/b*dtgθ*{1/[1+(a*tgθ/b)^2]}         
          =1/2*a*b*d[a/b*tgθ]*{1/[1+(a*tgθ/b)^2]}
          =1/2*a*b*d[arctg(a*tgθ/b)]
     设从0到π/2积分得到的面积为S。
    则椭园面积=4*S=4*1/2*a*b*arctg(∞)=2*a*b*π/2=π*a*b
     
      解题完毕！
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9楼2013-11-06 23:12:19
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