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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 在实数域上的有界且一致连续函数， 一定是属于L^1 (R) 的吗？
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08jmliu

新虫 (小有名气)

[交流] 在实数域上的有界且一致连续函数， 一定是属于L^1 (R) 的吗？

在实数域上的有界且一致连续函数， 一定是属于L^1 (R) 的吗？
怎么证明？谢谢！
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1楼2011-10-12 21:29:27
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sukiyq

木虫 (小有名气)
★
08jmliu(金币+1):谢谢参与
08jmliu(金币+1): 谢谢！ 2011-10-13 18:34:20
实变函数论与泛函分析下册(夏道行)，定理4.6.5说，直线上任意Lebesgue可测集E，当p大于等于1小于无穷时，L^p(E)中有界连续函数全体在L^p(E)中稠密。并且有推论闭区间[a,b]上的连续函数族C[a,b]在L^1([a,b])中稠密。
但是对于L^1 (R)，需要研究的问题在于“实数域上的有界且一致连续函数"全体是否在L^1(R)中。
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5楼2011-10-13 13:45:57
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youaaaa3221

金虫 (小有名气)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
小雨萌萌(金币+1): 谢谢~ 2011-10-14 09:36:56
不是 R的Lebesgue测度可能为正无穷
赞一下(2人) 回复此楼
6楼2011-10-13 21:23:48
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alpha94

金虫 (小有名气)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
小雨萌萌(金币+1): 谢谢~ 2011-10-14 09:37:04
不一定。比如f(x)=1,常值函数，肯定是一直连续的，但是它在R上积分为无穷大。
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7楼2011-10-13 23:24:35
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tangbohejin2楼
2011-10-12 21:49   回复  
08jmliu(金币+1):谢谢参与
小雨萌萌(金币-1): 不能这样赚金币~ 2011-10-13 10:08:09
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