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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 是否可以构造只有有限个元的环和域？
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筝筝日上

银虫 (著名写手)

[求助] 是否可以构造只有有限个元的环和域？

在数集中，最小的环是整数环，最小的域是有理数域，它们都是无限的，那么是否可以构造只有有限个元的环和域？
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1楼 2011-10-10 18:54:47
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kyoxma

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?$\mathcal{Z}/(p)$[\img] 就是只有有限个元素的域，其中p是素数。

可搜索有限域和Galois环。
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2楼2011-10-10 19:10:10
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kyoxma

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~ 2011-10-10 22:28:17
上贴代码有误

就是只有有限个元素的域，其中p是素数。

可搜索有限域和Galois环。
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3楼2011-10-10 19:12:08
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bjd1234

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

筝筝日上(金币+5): 谢谢·体会了 2011-10-11 10:38:58
可以，定义： ①、0+0=0；②、0+1=1;③、0*0=0;④、0*1=0;⑤、1*1=1;
这个集合中只有两个元素0、1，这是个环，
这环的应用很广的，特别是在计算机领域

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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4楼2011-10-10 19:22:54
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yasima2

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
楼: Originally posted by bjd1234 at 2011-10-10 19:22:54:
可以，定义： ①、0+0=0；②、0+1=1;③、0*0=0;④、0*1=0;⑤、1*1=1;
这个集合中只有两个元素0、1，这是个环，
这环的应用很广的，特别是在计算机领域
[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

虽然我技术不高，但我知道你回答是错的，呵呵，因为1加1等于2，而2不在你所谓的环中，所以是错的

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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5楼2011-10-10 19:38:03
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yasima2

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
楼: Originally posted by bjd1234 at 2011-10-10 19:22:54:
可以，定义： ①、0+0=0；②、0+1=1;③、0*0=0;④、0*1=0;⑤、1*1=1;
这个集合中只有两个元素0、1，这是个环，
这环的应用很广的，特别是在计算机领域
[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

虽然我技术不高，但我知道你回答是错的，呵呵，因为1加1等于2，而2不在你所谓的环中，所以是错的

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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6楼2011-10-10 19:39:46
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bjd1234

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
楼: Originally posted by yasima2 at 2011-10-10 19:39:46:
虽然我技术不高，但我知道你回答是错的，呵呵，因为1加1等于2，而2不在你所谓的环中，所以是错的
[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

汗-_-///，这里的0、1不是数字，是符号
你可以把0当偶数，把1当奇数，这是这个环的一个简单应用。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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7楼2011-10-10 19:56:41
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筝筝日上

银虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by bjd1234 at 2011-10-10 19:56:41:
汗-_-///，这里的0、1不是数字，是符号
你可以把0当偶数，把1当奇数，这是这个环的一个简单应用。
[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

那我问你你定义的这个环中1+1等于啥？
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8楼2011-10-10 21:36:35
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筝筝日上

银虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by kyoxma at 2011-10-10 19:12:08:
上贴代码有误

就是只有有限个元素的域，其中p是素数。

可搜索有限域和Galois环。

　集合F={a，b，…}，对F的元素定义了两种运算：“+”和“*”，并满足以下3个条件， 　　·F1：F的元素关于运算“+”构成交换群，设其单位元素为0。 　　·F2：F\{0}的元素关于运算“*”构成交换群。即F中元素排除元素0后，关于*法构成交换群。 　　·F3：分配率成立，即对于任意元素 　　a，b，c∈F， 　　恒有 　　a*(b+c)=(b+c)*a=a*b+a*c 　　p是素数时，可证F{0，1，2，…，p-1}，在modp意义下，关于求和运算“+”，及乘积“*”，构成了域。F域的元素数目有限时称为有限域。

那域不是关于除封闭吗，为什么没有说关于除的情况？
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9楼2011-10-10 21:39:30
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~ 2011-10-10 22:28:31
筝筝日上(金币+5): 谢谢 2011-10-11 10:38:36
引用回帖:
9楼: Originally posted by 筝筝日上 at 2011-10-10 21:39:30:
　集合F={a，b，…}，对F的元素定义了两种运算：“+”和“*”，并满足以下3个条件， 　　·F1：F的元素关于运算“+”构成交换群，设其单位元素为0。 　　·F2：F\{0}的元素关于运算“*”构成交换群。即F中元素排 ...

在一般的域的定义中，针对的是一般的集合。你说的“要对除法封闭”中的“除法”是指实数的除法。在一般集合上，定义了*运算后，仍将其称做乘法，其实已经不是数的乘法运算了，所以就没有相对的除法之说，而是看在*运算下，元素是否存在逆元了。
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10楼2011-10-10 21:58:29
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