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筝筝日上

银虫 (著名写手)

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[求助] 最后一贴，级数题~

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1楼 2011-08-28 21:21:43

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jfili

金虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

筝筝日上(金币+10): 2011-08-28 22:00:38

利用欧拉常数的定义可以证明收敛性

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2楼2011-08-28 21:29:42

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tianzhibin

nono2009: 专业区求助帖请勿纯表灌水！谢谢 2011-08-29 06:58:28

3楼2011-08-28 21:50:48

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筝筝日上

银虫 (著名写手)

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nono2009: 这是怎么啦？ 2011-08-29 06:58:11

版主我把剩余金币都捐了，别退了~~~

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4楼2011-08-28 22:52:30

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lizhmath

金虫 (初入文坛)

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专业: 数论

【答案】应助回帖

该级数计算结果为1。可如下计算：
$&\sum\limits_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right )\\ =&\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+2}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\\ =&\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+2}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n+1}\right)+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\ =&\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right )\\ =&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$

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5楼2011-08-29 12:02:32

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