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筝筝日上

银虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 1 (幼儿园)
金币: 366.8
散金: 1542
红花: 7
沙发: 5
帖子: 1041
在线: 234.3小时
虫号: 1094132
注册: 2010-09-09
性别: MM
专业: 数理统计

[求助] 最后一贴，级数题~

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1楼 2011-08-28 21:21:43

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

lizhmath

金虫 (初入文坛)

数学EPI: 1
应助: 0 (幼儿园)
金币: 3258.3
红花: 2
帖子: 32
在线: 97.1小时
虫号: 928915
注册: 2009-12-15
性别: GG
专业: 数论

【答案】应助回帖

该级数计算结果为1。可如下计算：
$&\sum\limits_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right )\\ =&\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+2}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\\ =&\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+2}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n+1}\right)+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\ =&\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right )\\ =&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$