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zhaoshenxx

金虫 (初入文坛)

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[交流] 负数有对数么？

如题。
负数的对数，到现在为止有没有被定义过？有的话，是怎样的形式；没有的话，是因为什么困难？
不只在实数范围内讨论，希望在回答时能给出原因。

[ Last edited by zhaoshenxx on 2011-8-24 at 15:52 ]

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1楼 2011-08-24 15:51:41

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lizhmath

金虫 (初入文坛)

数学EPI: 1
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★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
zhaoshenxx(金币+5): 5 2011-08-24 16:53:12
小雨萌萌(金币+3): 3Q~ 2011-10-20 13:58:28

在实数范围内，负数没有对数。但是在复数范围内，对于每个非零的复数，
都可以定义它的对数，它是个多值函数。以自然对数为例（底＝e），如果z是非零复数，
那么
log(z)=log(|z|)+iArg(z)
其中，i为虚数单位，|z|为z的模长，Arg(z)为z的弧角。（由于弧角有无穷多个，所以为多值函数）。

比如
log(-1)=log 1+i (\pi+2k\pi)=i (2k+1)\pi, k为任意的整数。
你可以用指数函数理解：
exp(i(2k+1)\pi)=cos((2k+1)\pi)+i sin((2k+1)\pi)=-1.

这些东西应该复变函数的书上都有。