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libralibra至尊木虫 (著名写手)
骠骑将军
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Euler Project Q12 欧拉工程第十二题 已有9人参与
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Question 12: The sequence of triangle numbers is generated by adding the natural numbers. So the 7th triangle number would be 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. The first ten terms would be: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ... Let us list the factors of the first seven triangle numbers: 1: 1 3: 1,3 6: 1,2,3,6 10: 1,2,5,10 15: 1,3,5,15 21: 1,3,7,21 28: 1,2,4,7,14,28 We can see that 28 is the first triangle number to have over five divisors. What is the value of the first triangle number to have over five hundred divisors? 翻译: 自然数求和可生成三角数列.第七个三角数是1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.前10个三角数列元素是: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ... 下面列出前7个三角数及其整除数: 1: 1 3: 1,3 6: 1,2,3,6 10: 1,2,5,10 15: 1,3,5,15 21: 1,3,7,21 28: 1,2,4,7,14,28 可以看出,28是第一个有超过5个整除数的三角数. 那么,第一个有超过500个整除数的三角数是多少? [ Last edited by libralibra on 2011-5-17 at 05:41 ] |
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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
余泽成(金币+3, 程序强帖+1): 好详细的分析！ 2011-05-17 22:24:53
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
余泽成(金币+3, 程序强帖+1): 好详细的分析！ 2011-05-17 22:24:53
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想到一个依赖组合计数的算法： 首先分析特殊情况，对于一个a1*a2*a3*a4*...*an=A酱紫的数，假定a1 2, 3, 5, 7 6, 10, 14,15, 21,35 30, 70,105,42 210 麻烦的问题是不完全是素数的情况，对于任意C=A*B，令A和B为素数积，当且仅当AB没有交集的时候C才是素数积，否则就带来可可怕的乘方，乘方会产生很多相同的因数。为了解决这个问题，需要分析素数的乘方能产生多少个相同解： 首先分析下素数乘方可能产生的相同解个数，假定某数可以分解出n个相同的素数因子：a1,a2,...an，这些因子的恼人之处就在于，不同的乘数可能产生相同的乘积，原本这些乘积是独立计数的，最终却需要剔除。一个简单的解决办法是，将n个数叠起来，使它们像这样：a1, a1^2, a1^3...a1^n，对这样的数列再次应用素数组合，但分析的时候要独立分析：这些数中只取一个的时候，产生独立解，其余的情况，都不能再计数，理由是，数列中的任意数的组合要么相同，要么不可能产生。因此，对于n个素数相同的情形，只能将其算一个素数的组合位置，但是要记入n种状况。最终的组合要借助计算机来完成，举例如下： 8*6 = 2*2*2*2*3，分离素数乘方表和素数表，得 乘方表：2,4,8,16，素数表2,3 在2的位置需要替换4种情况，当C21时，2本来只计数1，现在需要计数4，C22时2*3本来只有一个解，现在有4个解。对于2和3而言，原本的解像这样： 2, 3, 2*3 现在的解要将4个值替换到2的位置： 2,4,8,16,3,2*3,4*3,8*3,16*3 在更多情况下和这个类似，如果是24*6 = 2*2*2*3*2*3，分离出来的素数表仅有2,3，乘方表则有两个：2,4,8,16和3,9 原来的解是2,3,2*3，分两遍替换进去就成了这样： 替换2变成：2,4,8,16,3,2*3,4*3,8*3,16*3 再替换掉3变成：2,4,8,16,3,9,2*3,2*9,4*3,4*9,8*3,8*9,16*3,16*9 可以看到，由于无法知道哪个数是需要替换的，所以也无法直接构建公式，光组合算法还不成，得在组合算法之上再递归计数。 生成因数表和递归计数都不是啥问题，问题是组合算法，排列组合的算法的复杂度很高啊… |
5楼2011-05-17 13:41:19
libralibra
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sudo
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