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关于 t 的三次方程 有三个实根的充分必要条件为：  （参见 http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function） 拉格朗日乘数法是常规方法，也是大多数人首先想到的方法，我这里不用这种方法是旨在说明做题要思路开阔一些，不要拘泥于固定的套路。 |
5楼2011-02-09 13:50:08
6楼2011-02-19 16:43:39
7楼2011-02-19 17:11:27
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我用大学数学做做吧， 引入两个拉格朗日乘子：L1和L2,构造 F = xyz + L1*(x+y+z)+ L2*(x^2+y^2+z^2 -6) 对F分别对x，y,z求导令其为0可得 yz +2*L2 * x + L1 =0 (1) xz + 2*L2 *y +L1 =0 (2) xy+2*L2*z +L1 =0 (3) 三式相加并反复利用x+y+z=0可得 xy+xz+yz + 3*L1+ 2*L2*(x+y+z) =0 => xy + z( x+y) +3*L1=0 => xy - z^2 +3*L1 =0 (4) (3)-(4)得 z^2 +2*L2 *Z - 2*L1 =0 (5) => z^2 = 2*L1 -2*L2 *z 对x,y,z有同样的结论，由x^2+y^2+z^2 =6=> 6* L1 =6 => L1=1 由(5)可以解得 z or y or x = - L2 +(-) sqrt ( L2^2 +1 ) 由x+y+z=0可知x,y,z不可能都相等，但只能取其2根之一，比如x,y不相等，则 x+y+z = -2* L2 +z =0 此时z只能为-L2+ (-) sqrt (L2^2+2)， 所以有 9*L2^2 = L2^2 +1 => L2 = + (-) 1/2 代回去可得 L2= 1/2时 xyz =-2*L1 *z = -2 当L2 =-1/2时，xyz =-2*L1 *z =2 嗯好像比楼上的方法要繁琐很多啊， 罪过，不过不用用到韦达定理了。 |
8楼2011-02-20 14:45:31
