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筝筝日上

银虫 (著名写手)

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[交流] 【求助】大学数学

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1楼 2011-02-07 16:26:53

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leedobb

金虫 (正式写手)

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★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流

我用大学数学做做吧，
引入两个拉格朗日乘子：L1和L2,构造
F = xyz + L1*(x+y+z)+ L2*(x^2+y^2+z^2 -6)

对F分别对x，y,z求导令其为0可得

yz +2*L2 * x + L1 =0  (1)
xz + 2*L2 *y +L1 =0  (2)
xy+2*L2*z +L1 =0 (3)
三式相加并反复利用x+y+z=0可得
xy+xz+yz + 3*L1+ 2*L2*(x+y+z) =0 =>
xy + z( x+y) +3*L1=0 =>
xy - z^2 +3*L1 =0  (4)
(3)-(4)得
z^2 +2*L2 *Z - 2*L1 =0    (5) =>
z^2 = 2*L1 -2*L2 *z 对x,y,z有同样的结论，由x^2+y^2+z^2 =6=>
6* L1 =6 => L1=1
由(5)可以解得
z or y or x = - L2 +(-) sqrt ( L2^2 +1 )
由x+y+z=0可知x,y,z不可能都相等，但只能取其2根之一，比如x,y不相等，则
x+y+z = -2* L2 +z =0
此时z只能为-L2+ (-) sqrt (L2^2+2)，所以有
9*L2^2 = L2^2 +1 => L2 = + (-) 1/2

代回去可得
L2= 1/2时  xyz =-2*L1 *z = -2
当L2 =-1/2时，xyz =-2*L1 *z =2

嗯好像比楼上的方法要繁琐很多啊，
罪过，不过不用用到韦达定理了。