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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】关于微积分的一个问题
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BlueMage

金虫 (小有名气)

[交流] 【求助】关于微积分的一个问题

Let f be continuous at x = 0, and assume
lim [f(2x) − f(x)]/x  = L
x→0
Prove that f′(0) exists and f′(0) = L.

如果能知道f′(0)存在，那推出f′(0) = L 到不难
现在问题是怎么证明f′(0) 存在呢？
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1楼 2011-01-23 02:36:40
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
BlueMage(金币+7): 谢谢，很详细，只是想问一下，最后那个小于等于号中的等于不影响结果吗？ 2011-01-23 13:09:45


[ Last edited by Pchief on 2011-1-23 at 09:44 ]
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3楼2011-01-23 09:40:27
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jfili

金虫 (正式写手)
BlueMage(金币+3): 谢谢。 2011-01-23 13:07:49
先证明
f(x)-f(x/2^n)/ [(1-1/2^n)x]
在x收敛于零时是一致收敛于L的。
(实际上就是条件中将x代成x/2^n,利用这些极限就得到上式）

可以交换收敛次序，先让n收敛于无穷大，再让x收敛于零。
则证出f'(0)存在
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2楼2011-01-23 09:24:41
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