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北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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BlueMage

金虫 (小有名气)


[交流] 【求助】关于微积分的一个问题

Let f be continuous at x = 0, and assume
lim [f(2x) − f(x)]/x  = L
x→0
Prove that f′(0) exists and f′(0) = L.

如果能知道f′(0)存在,那推出f′(0) = L 到不难
现在问题是怎么证明f′(0) 存在呢?
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jfili

金虫 (正式写手)


BlueMage(金币+3): 谢谢。 2011-01-23 13:07:49
先证明
f(x)-f(x/2^n)/ [(1-1/2^n)x]
在x收敛于零时是一致收敛于L的。
(实际上就是条件中将x代成x/2^n,利用这些极限就得到上式)

可以交换收敛次序,先让n收敛于无穷大,再让x收敛于零。
则证出f'(0)存在
2楼2011-01-23 09:24:41
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BlueMage(金币+7): 谢谢,很详细,只是想问一下,最后那个小于等于号中的等于不影响结果吗? 2011-01-23 13:09:45


[ Last edited by Pchief on 2011-1-23 at 09:44 ]
3楼2011-01-23 09:40:27
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