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【讨论】预调件共轭梯度法（PCG） 已有4人参与
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有限元计算经常碰到大型稀疏矩阵，由于此类线性方程组通常条件数是比较大的，方程组的性态不好，所以最好用迭代方法求解，比方说是预调件共轭梯度法，但此方法在选择预调件矩阵时似乎没有一个同一的标准，大多推荐的是采用incomplete LU decomposition做为预调件矩阵。incomplete LU decomposition的计算方法似乎又有很多种。 1. incomplete LU decomposition 的计算时间应该比 LU decomposition要快速的多吧，不然直接用LU decomposition不就解出来了吗，又何必再来PCG迭代呢？ 2. 采用PCG方法的前提应该是系数矩阵对称、正定吧，因为其原理是一个相当于势函数的东西取极小值。那对于非正定的系数矩阵能求解吗，我构造了几个非正定的，有的似乎是能够收敛到正确结果的。 希望各位虫用解答和讨论。 |
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saladin983
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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
小雨萌萌: 金币+5, 3Q 2012-09-03 13:01:48
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
小雨萌萌: 金币+5, 3Q 2012-09-03 13:01:48
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就是你所说的先求解(5)式，得到y之后，再求解(4)式，这里因为L和U都是三角矩阵，直接求解的计算量很小，求解y和x的时候，按顺序计算各个分量即可，这里是不需要使用CG法。之前说的两个相关的方程组，就是指可以轻易地直接求解的（5）和（4）式。 事实上，P的应用，就是求解一个形如Py=r的方程组，这里也可以用其它的办法，ILU是一种比较廉价的做法，也经常见用（代数）多重网格法。还有些时候，构造出来的P可能会有特殊结构，使得Py=r非常易解，比如P是三对角矩阵。 你的理解有些偏差。CG法里应用preconditioner所需要的不一定是显式的P，算法里事实上只用到Py=r里的y，这个y总是用尽可能低廉的算法达到合适的精度，这里如何求解y会比较需要经验。CG求解的是Ax=b这个方程组，而如果利用precondioner的话，CG算法的每一步都要求解一个Py=r的线性方程组，这是两个不同的层级。在Py=r这个级别上，对于算法的高效性要求更高，而对精度的要求相对要低点，所以才会容许使用ILU分解这种近似算法。当然，你也可以直接用CG方法求解Py=r到适当的精度，但是这个时候，这里的CG法和求解Ax=b的CG法已经是一个嵌套的关系了。 |
40楼2012-08-06 00:24:28
saladin983
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saladin983
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