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【讨论】预调件共轭梯度法（PCG） 已有4人参与
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有限元计算经常碰到大型稀疏矩阵，由于此类线性方程组通常条件数是比较大的，方程组的性态不好，所以最好用迭代方法求解，比方说是预调件共轭梯度法，但此方法在选择预调件矩阵时似乎没有一个同一的标准，大多推荐的是采用incomplete LU decomposition做为预调件矩阵。incomplete LU decomposition的计算方法似乎又有很多种。 1. incomplete LU decomposition 的计算时间应该比 LU decomposition要快速的多吧，不然直接用LU decomposition不就解出来了吗，又何必再来PCG迭代呢？ 2. 采用PCG方法的前提应该是系数矩阵对称、正定吧，因为其原理是一个相当于势函数的东西取极小值。那对于非正定的系数矩阵能求解吗，我构造了几个非正定的，有的似乎是能够收敛到正确结果的。 希望各位虫用解答和讨论。 |
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saladin983
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对于Krylov子空间类的迭代算法的效率，最重要的自然是系数矩阵的特征值分布，但是初始向量的确也会有很大的影响。比如说，在系数矩阵的（绝对值）最小的特征值接近于0的情况下，若初始迭代向量是相应的特征值的话，则最开始的迭代过程非常耗时。事实上在很多情况下，CG的迭代过程表现出开始时残量下降较慢，而最后一段则下降较大，这是一个在实际运算中很麻烦的状况。通常需要通过条件预处理来克服。这一点，我相信GMRES不会比BiCGStab更好。 回到你的问题，我比较困惑的是，如果右端向量是0的话，你的解不应该就是0么？难道是不满秩的方程组或者是过定的？但这些情况下都是不能用这些迭代法直接求解的。 |
34楼2012-01-03 22:55:26
saladin983
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2楼2010-09-06 22:58:01
3楼2010-09-07 14:04:33
saladin983
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4楼2010-09-07 16:06:00