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quartzbj

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[交流] 【讨论】面积分和线积分的关系？已有4人参与

二维区域\Omega内的积分，如果被积函数f(x,y)只在某个线\Gamma上有值，其他点的函数值为0。

\int_\Omega f(x,y)dxdy等于
\int_\Gamma f(x,y)dxdy 能等于\int_\Gamma f(x,y)ds?

这三个式子是恒等的吗？

如果\Gamma 为区域的话，第一个等号肯定成立，区域积分转化为线积分也比较容易。
关键这里都是线？

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1楼 2010-08-26 16:08:28

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jfili

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记 \G=\Gamma, \O=\Omega
如果 f 在线\G外为零，那么\int_\O f dxdy=0

\int_G f(d,y)dxdy 这个怎么定义？

\int_G f(x,y) ds 可以定义，这个和 \int_O f dxdy 有关系吗？

如果 \G 为区域\O的边界，且边界\G有一定的滑性，\int_O d f=\int_\G f ，前面的被积函数是某函数微分的形式，后者的定义可以在微分几何中找到

举一个例子： \int_O \nabla u dxdy=\int_\G u d\G, d\G 表示边界\G的外法向量

[ Last edited by jfili on 2010-8-26 at 19:41 ]

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2楼2010-08-26 19:40:40

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quartzbj

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\Gamma 在\Omega 内部或者为\Omega的边界的一段，但不是全部，是个open curve。

记 \G=\Gamma, \O=\Omega
如果 f 在线\G外为零，那么\int_\O f dxdy=0

\int_G f(d,y)dxdy 这个怎么定义？
----后来想想，这个式子不对，\G为线，dxdy为面积元。不能这样写。

\int_G f(x,y) ds 可以定义，这个和 \int_O f dxdy 有关系吗？
---------关键就是这个问题

如果 \G 为区域\O的边界，且边 ... [/quote]

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3楼2010-08-26 20:38:51

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