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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】一高中数学题的解法，谢谢
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yuanquan1152

铜虫 (正式写手)

[交流] 【求助】一高中数学题的解法，谢谢 已有3人参与

正四面体的棱长为1，球O与正四面体的棱长相切，球心在四面体内，球o的表面积是多少？

[ Last edited by Doctorcbw on 2010-7-10 at 15:53 ]
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1楼 2010-07-09 20:37:27
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bean110

铜虫 (初入文坛)
yuanquan1152(金币+5):xx 2010-07-12 20:03:15
答案是π/2吗?
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2楼2010-07-09 21:27:19
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chenlingbuct

金虫 (小有名气)
yuanquan1152(金币+5):xx 2010-07-12 20:03:08
对，就是π/2，把正四面体放在一个正方体中，棱长分别是正方体六个面的对角线，那么球的直径就是正方体的边长，根号二分之一。从而得到球的表面积。
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3楼2010-07-10 13:55:36
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senoy

木虫 (正式写手)
★ ★ ★
wuguocheng(金币+3):以后少给这些人做这些题目,他们 自己不思考. 辛苦了 2010-07-10 16:25:47
看过楼上两位的答案，觉得两位把正四面体当成正方体了。
首先求球的半径
设正四面体S-ABC，高SH，其中H是底面三角形ABC的外（内、重、垂）心，连结AH，在平面SAH上作SA垂直平分线，交SH于O，则O是内切（外接）球心，
设棱长为1,AH=1（√3/2）*（2/3）= √3/3,
△SMO∽△SHA，设外接球半径=R，内切球半径=r,
SM*SA=SO*SH，1^2/2=R* √6/3,
R= √6/4,
r=SH-SO=√6/3-√6/4=√6/12.

然后求球的表面积：
S=4派r^2=派/6

[ Last edited by senoy on 2010-7-10 at 14:27 ]
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4楼2010-07-10 14:09:56
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