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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 应用数学与力学 » 【求助】计算两段空间圆弧的最短距离---(已解决)
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lizh714285

金虫 (小有名气)

[交流] 【求助】计算两段空间圆弧的最短距离---(已解决) 已有3人参与

有两段空间圆弧A和B
已知A圆弧的起点坐标（XA1,YA1,ZA1）;
      A圆弧的终点坐标（XA2,YA2,ZA2）;
      A圆弧的起点的切线方向单位矢量(iA1,jA1,kA1);
      A圆弧的终点的切线方向单位矢量(iA2,jA2,kA2);

      B圆弧的起点坐标（XB1,YB1,ZB1）;
      B圆弧的终点坐标（XB2,YB2,ZB2）;
      B圆弧的起点的切线方向单位矢量(iB1,jB1,kB1);
      B圆弧的终点的切线方向单位矢量(iB2,jB2,kB2);

求A圆弧上一点a,和B圆弧上的一点b；使得ab距离是最短的。
  （分别给出a,b的坐标，及a点、b点的切线方向单位矢量）
注：两圆弧都是有向曲线，各点切线方向指圆弧行进的正方向

求助解析思路和一般步骤

[ Last edited by lizh714285 on 2010-6-24 at 06:44 ]
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1楼 2010-06-23 11:11:43
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lizh714285

金虫 (小有名气)
补充： 某圆弧的起点、终点切线方向均已知，可叉积求出副法线方向（即所在平面的法方向），再与起点切线叉积，可求出起点的法线方向。 于是可构成活动标架坐标系

两空间圆弧的圆心角可分别通过起点切线方向和终点切线方向的点积，通过反余弦求出圆心角；

两圆的半径，由于起点终点已知，通过距离公式可求弦长，圆心角已求出，所以R也可求

两圆的圆心坐标，由于开始点法线方向已求出，R也已求出，所以圆心坐标可求

所以，两圆弧的曲线方程实际可求出。

我的求助变成：如果已知两空间圆弧的曲线方程；以及边界点坐标，边界点的切线方向

那么，求两点a和b（a在曲线A上，b在曲线B上），使得这样的a,b； |ab|最小

[ Last edited by lizh714285 on 2010-6-23 at 16:39 ]
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2楼2010-06-23 12:07:38
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lizh714285

金虫 (小有名气)
如果是曲线外一点，到某段空间（圆弧）曲线，求其最小的动点，可考虑导数为0之类的方式
譬如转换坐标系，以空间曲线开始点法线方向，副法线方向，切线方向构成正交坐标系；空间曲线成为：联立y=0;  x=r*sin(a); z=r*cos(a);
曲线外一点的坐标是可求的，为（x1,y1,z1）（可认为是已知）
a是参数（曲线上动点的转动角度，甚或是“以r为计量单位的曲线长”）
可将两点距离公式对a求导，并另为0

问题是另一面也是曲线。
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3楼2010-06-23 13:41:41
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onesupeng

金虫 (职业作家)
lizh714285(金币+5):还是需要解析解。 譬如，这实际是二元函数，（两个参数，分别是两个圆弧的转动角度），两个角度定下来，两个动点就定了，距离也就定了。 2010-06-23 15:48:19
我做的话有两种办法：

1、数值计算的话，遍历就好。
2、实际上也是一个条件优化
A=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2
在以下约束求min(A)
f(x1,y1,z1)=0
g(x2,y2,z2)=0
x1,y1,z1,x2,y2,z2的约束。这个用一些优化软件应该就可以做。
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4楼2010-06-23 14:53:10
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lizh714285

金虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by onesupeng at 2010-06-23 14:53:10:
我做的话有两种办法：

1、数值计算的话，遍历就好。
2、实际上也是一个条件优化
A=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2
在以下约束求min(A)
f(x1,y1,z1)=0
g(x2,y2,z2)=0
x1,y1,z1,x2,y2,z2的约束。这个用一些 ...

——————————
我试着做二元的，但求导后令其为0，方程很复杂，不好求出a和b（两个参数）的极值。
如果照4楼的提示，实际空间的圆弧曲线可分别由两组联立方程组成，（球方程和副法线点积为0方程）四个约束方程，6个变量，求两点距离公式的极值，还要考虑边界条件；
晕了
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5楼2010-06-23 17:02:32
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woshidada

铁虫 (小有名气)
将两段空间弧写出参量方程，两组方城参量的取值范围一致！然后用空间两点距离公式，求一元函数的最值问题
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6楼2010-06-23 21:35:35
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woshidada

铁虫 (小有名气)
lizh714285(金币+5):一个参数恐难解决。谢谢你的关注 2010-06-24 06:49:16
参数的取值范围一致，但是表达的意义不一样，当参数取定某值，对应第一段弧上的一点，也会对应第二段弧上一点
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7楼2010-06-23 21:37:14
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woshidada

铁虫 (小有名气)
lizh714285(金币+5):谢谢参与，请参照9楼的答案 2010-06-24 06:24:59
给点金币吧，我有用，我要提问
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8楼2010-06-23 21:37:42
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onesupeng

金虫 (职业作家)
lizh714285(金币+30):多谢，这应是正途。 2010-06-24 06:24:04
对，我觉得按你写成二元函数球极值可能更简单一些。求解方法见下图：如果没有定理中的点，说明在端点


引用回帖:
Originally posted by lizh714285 at 2010-06-23 17:02:32:


——————————
我试着做二元的，但求导后令其为0，方程很复杂，不好求出a和b（两个参数）的极值。
如果照4楼的提示，实际空间的圆弧曲线可分别由两组联立方程组成，（球方程和副法线点积为0方程）四 ...

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9楼2010-06-23 23:15:22
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lizh714285

金虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by onesupeng at 2010-06-23 23:15:22:
对，我觉得按你写成二元函数球极值可能更简单一些。求解方法见下图：如果没有定理中的点，说明在端点





工程问题的话，还要补充一点，首先两圆是否有交点，无交点情况下，应是这样。



顺便说一下背景

石油钻探行业定向井设计和实钻监控中的避障、防碰验证





[ Last edited by lizh714285 on 2010-6-24 at 09:42 ]
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10楼2010-06-24 07:12:30
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