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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 【求助】多重网格预处理子如何构造？
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yanrenyi

铜虫 (初入文坛)

[交流] 【求助】多重网格预处理子如何构造？ 已有2人参与

对于最简单的椭圆方程
-a u_{xx}-u_{yy}=f,
其中a是一常数。

我想用Krylov子空间法求解上述方程离散后的线性系统，在求解之前用多重网格进行预处理，请问这个预处理子怎么构造？
非常感谢！
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1楼 2010-05-28 15:51:06
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)
★
yanrenyi(金币+10): 2010-06-02 16:13:53
javeey(金币+1):谢谢解答 2010-06-02 20:40:39
引用回帖:
Originally posted by yanrenyi at 2010-05-31 11:04:24:



就是 preconditioner, 考虑的是如下的各项异性方程

我自己设计了一个preconditioner, 想和多重网格preconditioner的预处理效果做一 ...

所谓多重网格的preconditioner，实际上就是在粗网格上求方程的近似解（比较典型的是用几步Gauss-Seidel迭代求解），然后用来作为preconditioner，实现和分析都比显式的矩阵形式的preconditioner要复杂一些。这一块我不敢说太熟悉，也不知道你了解多少，不好展开说。推荐一本参考书吧，P. Wesseling的 an introduction to multigrid methods，不厚，我手头有本1999年版的，貌似2004年又有一版。多说一句，用多重网格的方法直接构造solver或者用它构造preconditioner本质上区别不大。

此外，我不知道你自己的算法是什么样子的，你也可以大致说一下。如果你只关心条件数，那多重网格或许是很好的选择，但是通常情况下我们还会考虑preconditioner应用的计算代价。当然，如果你的问题尺度不大，那就无所谓了。

[ Last edited by saladin983 on 2010-5-31 at 15:03 ]
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4楼2010-05-31 20:34:08
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)
yanrenyi(金币+2):感谢！ 2010-05-31 17:05:47
预处理子？你是说preconditioner？建议把线性方程贴上来。

[ Last edited by saladin983 on 2010-5-28 at 18:34 ]
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2楼2010-05-28 18:09:15
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yanrenyi

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
Originally posted by saladin983 at 2010-05-28 18:09:15:
预处理子？你是说preconditioner？建议把线性方程贴上来。

[ Last edited by saladin983 on 2010-5-28 at 18:34 ]

就是 preconditioner, 考虑的是如下的各项异性方程

我自己设计了一个preconditioner, 想和多重网格preconditioner的预处理效果做一个比较。即将该方程离散（我用的有限差分（中心差分）方法），得到一线性系统Ax=b, 然后对该系统分别用我设计的方法和多重网格进行预处理，比较预处理后的线性系统系数矩阵的条件数。我现在不会构造多重网格preconditioner, 希望您能给予帮助，非常感谢！！！
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3楼2010-05-31 17:04:24
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yanrenyi

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
Originally posted by saladin983 at 2010-05-31 20:34:08:


所谓多重网格的preconditioner，实际上就是在粗网格上求方程的近似解（比较典型的是用几步Gauss-Seidel迭代求解），然后用来作为preconditioner，实现和分析都比显式的矩阵形式的preconditioner要复杂一些。这 ...

我对多重网格的了解：读过王烈衡和许学军老师编的有限元方法的数学基础那本书，听过许老师关于该方法的讲课，知道方法的基本原理，会编写最基本的多重网格程序。再复杂的就不清楚了。

我构造的 preconditioner 类似于一种块形式的 hierarchical basis 方法，可以将我上面写的那个方程离散后的系数矩阵的条件数（系数epsilon非常小时）降低到 O(1)。
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5楼2010-06-02 16:13:26
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