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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求解一个圆心轨迹的问题
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Mackey525

铜虫 (小有名气)

[交流] 求解一个圆心轨迹的问题

已知三次曲线函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，若半径为R的圆沿着f（x）滚动，求解滚动后圆心的轨迹方程g（x）。

g（x）应该不是f（x）+R这么简单，望高手指点。在线等
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1楼 2010-01-15 09:55:04
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viviansector

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):恭喜抢沙发，给个红包
haixing2008(金币+1,VIP+0):多谢交流！ 1-15 11:48
如果是求圆心的话确是这么简单。如果是求圆周上一点的话，可以用参数方程表示。
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2楼2010-01-15 10:42:09
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
★ ★
小木虫(金币+0.2):抢了个小板凳，给个红包
haixing2008(金币+1,VIP+0):多谢交流！ 1-15 11:48
这个跟圆的半径还有关系。


如果圆的半径很小r
x(t)=t-R*f'(t)/sqrt(1+f'(t)^2)
y(t)=f(t)+R/sqrt(1+f'(t)^2)

如果圆的半径r>=R，情况会比较复杂，要分段讨论。

[ Last edited by bluesine on 2010-1-15 at 11:12 ]
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板凳要做十年冷文章不发一个字
3楼2010-01-15 10:51:23
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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊
★ ★
bluesine(金币+0,VIP+0):正解。和我的意思一样，呵呵。（X-x）^2+（Y-y）^2=R^2不是太好用，个人觉得参数方程比较好一点 1-15 18:13
bluesine(金币+2,VIP+0):谢谢解答 1-15 18:13
如果圆的半径R 如果圆的半径R>r，就很麻烦的，此情况就如你骑自行车时，轮子被路面的坑卡主了。
但g（x）是不等于f（x）+R的，f（x）+R是将f（x）的图像沿y轴平移R个单位，其形状没有改变
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成功需要智勇的执著
4楼2010-01-15 15:59:05
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Mackey525

铜虫 (小有名气)
bluesine(金币+0,VIP+0):呵呵，参数方程的变量啊。给你举个例子，你的f(x)=ax^3+...+d中，写出参数方程就是x(t)=t,y(t)=f(t).参数方程和直角坐标下方程等价。在你这题中，用参数方程比较容易 1-15 18:11
2L同学 参数t代表什么呢 t的具体含义是什么

能提供具体一些的思路吗 万分感谢！！
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5楼2010-01-15 16:07:37
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sike121107

★
bluesine(金币+1,VIP+0):呵呵。。 1-15 18:13
深表同情
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6楼2010-01-15 16:19:29
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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊
★
bluesine(金币+1,VIP+0):呵呵，差不多是这个意思！ 1-15 18:14
引用回帖:
Originally posted by Mackey525 at 2010-1-15 16:07:
2L同学 参数t代表什么呢 t的具体含义是什么

能提供具体一些的思路吗 万分感谢！！

他的意思是设圆心坐标为（x，y），这时f（x）里的x用t表示，以免混乱，x=x(t)，y=y(t)，圆与f（t）的交点为（t，f（t）），在交点处取弧长ds，ds=sqrt(1+f'(t)^2)dt，ds、df（t）、dt组成直角三角形，圆半径R也与ds垂直，则df（t）/ds=[t-x（t）]/R；y（t）=f（t）+Rdt/ds。将上述量代入移向就得那两个表达式了，画个图形容易理解。
我觉得还是用两点间距离关系求最容易，交点与圆心距离为R，是常数，利用这一点会是求解大为简化。
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成功需要智勇的执著
7楼2010-01-15 16:58:16
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
过程：
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板凳要做十年冷文章不发一个字
8楼2010-01-15 18:32:22
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Mackey525

铜虫 (小有名气)
明白了  谢谢大家 真的很谢谢：）
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9楼2010-01-15 20:44:20
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