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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【讨论】关于一个不等式的证明
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jfili

金虫 (正式写手)

[交流] 【讨论】关于一个不等式的证明

原帖请见 http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=1723426&fpage=1
应 Pchief 的要求开一个专题贴。


条件：{x}、{y}为两个数集，元素个数都为n，且其中的元素都大于0；{x}和{y}的各个元素之和相等；p 为大于1的数
结论0：如果对满足以上条件的任意的{x}，{y}，如果数组{x}的平方和大于{y}的平方和，则{x}的p方和大于{y}的p方和
结论1：如果对满足以上条件的任意的{x}，{y}，如果数组{x}的平方和等于{y}的平方和，则{x}的p方和等于{y}的p方和
结论2：如果对满足以上条件的任意的{x}，{y}，如果数组{x}的平方和大于或等于{y}的平方和，则{x}的p方和大于或等于{y}的p方和

我要证明的命题如下：如果结论0成立，则结论1必然成立

为了证明的方便引入记号：x^p表示对{x}中元素的p次方求和，x>0表示{x}中的所有元素都大于0，

首先，如果结论0成立，则，结论2成立。
固定y和p。
{x|x^2>y^2，x=y，且满足条件}表示一个集合A。A的闭包包含于x>0
F(x)=x^p-y^p>0当 x\in A
而F在x>0中是连续的，
所以当x\in A的闭包时，F(x)大于或等于0.

最后证明，如果结论2成立，则结论1也成立。
如果x^2=y^2，由结论2可以得到 x^p大于或等于 y^2
如果y^2=x^2，由结论2可以得到 y^p大于或等于 x^2（此处用到的结论2只需要将x, y互换一下）
所以，当x^2=y^2，结论1成立。



请各位虫子帮忙找出一下证明的错误。
如果你发现错误并能帮我完备，我将感激不尽；如果你没有发现，也请回个帖，谢谢。
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1楼 2009-12-16 11:03:17
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2005001045

木虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):恭喜抢沙发，给个红包
bluesine(金币+1,VIP+0):学数学要有耐心哦~谢谢回帖 12-16 18:38
题目看着乌七八糟的
不太喜欢这种类型的不等式证明
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2楼2009-12-16 12:44:22
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.2):抢了个小板凳，给个红包
bluesine(金币+10,VIP+0):鼓励这样的学术讨论，很有意义。在这样的交流中，大家都会有收获。 12-16 18:40
楼主把他的证明写成这样，各位看懂了吗？
就我来讲，楼主在原来那个帖子里写的证明，最初我是完全不懂。后来（在原贴２３楼）楼主才提到连续性，我开始觉得似乎有一点道理，但还是不懂。写成现在这个样子，我算是勉强懂了一点。

只问楼主一句：你那个A的闭包等于多少，能不能写出来看看？

如果楼主不方便打数学符号，我把我的理解打在这里。
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3楼2009-12-16 13:52:01
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jfili

金虫 (正式写手)
A 中的元素是x，收先满足\sum x=\sum y，所一包含于某一个平面（n惟空间的平面）。又有x在第一象限中，所以是一个多边形（n惟空间的多边形，n=3时是三角形）。
在这\sum x^2>\sum y^2，所以A的边界有一部分是平面和球的交（这个平面和球肯定是相交的，因为当{x}={y}时，是边界）

所以A的闭包就是一个多边形中间挖掉一个圆（n惟空间的圆）

所以A的闭包包含于｛x|x大于或等于0｝

不会吧。我觉得写得很明白了。没想到你们也看不懂
看来，我以后回答问题要写得足够详细才可以。

回二楼的：我只是由一个不严谨的结论推导出一个更加荒唐的结论而已。

只是由这个可以推导出一个另一个正确的命题（在原帖中）
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4楼2009-12-16 15:55:02
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
好吧。其他的小问题我不计较了。我现在知道 x属于A的闭包时 F(x)≥0了。但是我还是不知道为什么x^2 ≥ y^2时F(x)≥0.

x^2>y^2时显然根据题设就得到，现在你说说x^2=y^2时的情况。

你也可以看看3楼我打的那个文件，发表一下你对我的理解的看法。
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5楼2009-12-16 16:35:07
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wuguocheng

荣誉版主 (职业作家)

优秀版主
有些问题, 提问者已经得到应助的基础之上, 一些问题你们可以私下讨论.

二位加个群: 可以便于交流沟通: 76212844
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2009-12-16 16:35:
好吧。其他的小问题我不计较了。我现在知道 x属于A的闭包时 F(x)≥0了。但是我还是不知道为什么x^2 ≥ y^2时F(x)≥0.

x^2>y^2时显然根据题设就得到，现在你说说x^2=y^2时的情况。

你也可以看看3楼我打的 ...

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稻草人的孤单
6楼2009-12-16 16:53:11
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jfili

金虫 (正式写手)
A 满足 x^2>y^2，那么A的闭包上就有 x^2≥ y^2
(在中间的圆上是等于，在周围的边界上是大于)
进一步，实际上A的闭包=｛x^2≥y^2, x=y, x≥0｝

我看了附件中的内容，是正确的。只是如果把A理解成｛x,y｝的集合，结果讨论起来就更加麻烦了
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7楼2009-12-16 17:10:29
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cool_smile

木虫 (著名写手)
★
bluesine(金币+1,VIP+0):呵呵，谢谢回帖交流，学数学要有耐心哦 12-16 18:41
  看着头晕
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有太多情感，即使强求，也没法得到; 有太多忧伤，即使放弃，也没法忘怀; 还有那太多太多……却永远与无奈平行
8楼2009-12-16 17:22:59
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2009-12-16 17:10:
A 满足 x^2>y^2，那么A的闭包上就有 x^2≥ y^2
(在中间的圆上是等于，在周围的边界上是大于)
进一步，实际上A的闭包=｛x^2≥y^2, x=y, x≥0｝

我看了附件中的内容，是正确的。只是如果把A理解成｛x,y｝的 ...

你第一句，没错，是可以这么推。

但现在的情况是：我只知道有一个点满足∑x=∑y，∑x^2=∑y^2，然后你就想告诉我：Σx^p≥∑y^p对一切p成立。如果这个点在A的闭包上，那当然可以用前面的结论，但是这个点究竟在不在A的闭包上，你没说。

“如果点x在A的闭包上，那么∑x^2≥∑y^2”，这句话，你现在是不是想反过来说成“如果∑x^2≥∑y^2，那么x在A的闭包上”？话是不可以随便颠倒过来说的。当然不排除有些情况下反过来说也对，但是，还是那句话——拿出根据来。
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9楼2009-12-16 20:02:16
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chrisleikun

铁虫 (小有名气)
忘了闭包这些概念了，纯支持了！
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祝我们幸福！
10楼2009-12-16 20:21:34
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