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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【讨论】关于一个不等式的证明
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jfili

金虫 (正式写手)

[交流] 【讨论】关于一个不等式的证明

原帖请见 http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=1723426&fpage=1
应 Pchief 的要求开一个专题贴。


条件：{x}、{y}为两个数集，元素个数都为n，且其中的元素都大于0；{x}和{y}的各个元素之和相等；p 为大于1的数
结论0：如果对满足以上条件的任意的{x}，{y}，如果数组{x}的平方和大于{y}的平方和，则{x}的p方和大于{y}的p方和
结论1：如果对满足以上条件的任意的{x}，{y}，如果数组{x}的平方和等于{y}的平方和，则{x}的p方和等于{y}的p方和
结论2：如果对满足以上条件的任意的{x}，{y}，如果数组{x}的平方和大于或等于{y}的平方和，则{x}的p方和大于或等于{y}的p方和

我要证明的命题如下：如果结论0成立，则结论1必然成立

为了证明的方便引入记号：x^p表示对{x}中元素的p次方求和，x>0表示{x}中的所有元素都大于0，

首先，如果结论0成立，则，结论2成立。
固定y和p。
{x|x^2>y^2，x=y，且满足条件}表示一个集合A。A的闭包包含于x>0
F(x)=x^p-y^p>0当 x\in A
而F在x>0中是连续的，
所以当x\in A的闭包时，F(x)大于或等于0.

最后证明，如果结论2成立，则结论1也成立。
如果x^2=y^2，由结论2可以得到 x^p大于或等于 y^2
如果y^2=x^2，由结论2可以得到 y^p大于或等于 x^2（此处用到的结论2只需要将x, y互换一下）
所以，当x^2=y^2，结论1成立。



请各位虫子帮忙找出一下证明的错误。
如果你发现错误并能帮我完备，我将感激不尽；如果你没有发现，也请回个帖，谢谢。
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1楼 2009-12-16 11:03:17
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.2):抢了个小板凳，给个红包
bluesine(金币+10,VIP+0):鼓励这样的学术讨论，很有意义。在这样的交流中，大家都会有收获。 12-16 18:40
楼主把他的证明写成这样，各位看懂了吗？
就我来讲，楼主在原来那个帖子里写的证明，最初我是完全不懂。后来（在原贴２３楼）楼主才提到连续性，我开始觉得似乎有一点道理，但还是不懂。写成现在这个样子，我算是勉强懂了一点。

只问楼主一句：你那个A的闭包等于多少，能不能写出来看看？

如果楼主不方便打数学符号，我把我的理解打在这里。
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3楼2009-12-16 13:52:01
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
好吧。其他的小问题我不计较了。我现在知道 x属于A的闭包时 F(x)≥0了。但是我还是不知道为什么x^2 ≥ y^2时F(x)≥0.

x^2>y^2时显然根据题设就得到，现在你说说x^2=y^2时的情况。

你也可以看看3楼我打的那个文件，发表一下你对我的理解的看法。
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5楼2009-12-16 16:35:07
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2009-12-16 17:10:
A 满足 x^2>y^2，那么A的闭包上就有 x^2≥ y^2
(在中间的圆上是等于，在周围的边界上是大于)
进一步，实际上A的闭包=｛x^2≥y^2, x=y, x≥0｝

我看了附件中的内容，是正确的。只是如果把A理解成｛x,y｝的 ...

你第一句，没错，是可以这么推。

但现在的情况是：我只知道有一个点满足∑x=∑y，∑x^2=∑y^2，然后你就想告诉我：Σx^p≥∑y^p对一切p成立。如果这个点在A的闭包上，那当然可以用前面的结论，但是这个点究竟在不在A的闭包上，你没说。

“如果点x在A的闭包上，那么∑x^2≥∑y^2”，这句话，你现在是不是想反过来说成“如果∑x^2≥∑y^2，那么x在A的闭包上”？话是不可以随便颠倒过来说的。当然不排除有些情况下反过来说也对，但是，还是那句话——拿出根据来。
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9楼2009-12-16 20:02:16
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
formleaf(金币+0,VIP+0):真理越辩越明，所以要只对问题不对人，谢谢 12-22 12:32
另外，关于这个：
引用回帖:
我看了附件中的内容，是正确的。只是如果把A理解成｛x,y｝的集合，结果讨论起来就更加麻烦了

我不觉得这样讲起来有多麻烦，相反，我却很不理解明明x和y都是可以自由流动的，你却一开始就要把y固定，你能保证这样得出的结果不损失一般性吗？根据何在。
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11楼2009-12-16 21:35:56
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
想不到还有人继续关注这个贴，那我做个总结好了。

楼主的意思说白了并不复杂，看本楼附件。问题在于楼主一直没有把该说的东西说出来。

写证明，关键要让看的人能看懂。如果只是写给自己看，那当然可以随便。但写给别人看，如果别人看不懂，那么等于白写。

好了，在这个问题上我说的话也已经够多了，如果没有问题，我也不再多说了。

[ Last edited by Pchief on 2010-1-1 at 22:44 ]
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14楼2009-12-22 13:55:14
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